spirale

Il guscio calcareo delle ammoniti è costruito quasi come una spirale logaritmica

Una spirale o elica è una curva che gira intorno a un punto o un asse e, a seconda della prospettiva dell'osservatore, si allontana o si avvicina a questo centro.

Spirale o vite

La spirale è talvolta confusa con la vite (chiamata anche elica o elica ). Mentre la spirale prototipo è una struttura nel piano, come il solco di un disco o i bracci di una galassia a spirale , sia la vite che la punta elicoidale sono strutture tridimensionali lungo il cortile di un cilindro. La demarcazione di una ruota di vortice alla fine non è chiara.

Spirali piane

Descrizioni

Spirale di Archimede

In termini matematici, le spirali possono essere meglio descritte come equazioni di coordinate nel sistema di coordinate polari piane , dove è rappresentato in funzione di ; generalmente va all'infinito invece che solo a 2π. Sono possibili anche angoli negativi. ${\ stile di visualizzazione r}$${\ displaystyle r (\ varphi)}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ varphi}$

Rappresentazione polare di una spirale:

• ${\ displaystyle r = r (\ varphi)}$

In - -coordinates in tal modo diventano punti con la rappresentazione parametrica ${\ stile di visualizzazione x}$${\ stile di visualizzazione y}$

• ${\ displaystyle x = r (\ varphi) \ cos \ varphi \, \ qquad y = r (\ varphi) \ sin \ varphi}$

descritto.

Sostituendo nella rappresentazione polare con , la spirale è l'angolo ruotato. (Potrebbe essere necessario regolare l'intervallo di definizione.) ${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ varphi - \ varphi _ {0}}$${\ displaystyle \ varphi _ {0}}$

Esempi

• Spirale di Archimede :${\ displaystyle \ r = a \ varphi}$
• Spirale iperbolica :${\ displaystyle \ r = {\ tfrac {a} {\ varphi}}}$
• Spirale fermatsche :${\ displaystyle \ r = a {\ sqrt {\ varphi}}}$
• Litua spirale :${\ displaystyle \ r = {\ tfrac {a} {\ sqrt {\ varphi}}}}$
• Spirale logaritmica :${\ displaystyle \ r = ae ^ {k \ varphi}}$

Spirale iperbolica come proiezione centrale di una linea elicoidale

La spirale di Archimede sorge z. B. quando si avvolge un tappeto uniformemente spesso. È descritto nel - piano da una linea retta. ${\ stile di visualizzazione r}$${\ displaystyle \ varphi}$

La spirale iperbolica è descritta nel piano - da un'iperbole. Nasce dalla proiezione centrale di una linea elicoidale su un piano perpendicolare all'asse della vite (vedi figura). Puoi vederli z. B. guardando verticalmente attraverso una scala a chiocciola (vedi linea elicoidale (geometria descrittiva) ). È anche l'immagine di una spirale di Archimede quando si specchia in un cerchio (inversione). ${\ stile di visualizzazione r}$${\ displaystyle \ varphi}$

La spirale di Fermat è anche chiamata spirale parabolica, poiché la sua equazione polare descrive una parabola.

La spirale lituo è l'immagine di una spirale Fermat quando specchiata in un cerchio.

La spirale logaritmica viene creata ad es. B. nella crescita dei gusci di lumaca. Il tuo nome è dovuto alla dissoluzione della loro equazione polare a lei: . ${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ varphi = {\ tfrac {1} {k}} \ cdot \ ln {\ tfrac {r} {a}}}$

• 

  Spirale iperbolica:
  ${\ displaystyle r = {\ frac {a} {\ varphi}}}$

• 

  Spirale fermatsche:
  ${\ displaystyle r = a {\ sqrt {\ varphi}}}$

• 

  Litua spirale:
  ${\ displaystyle r = {\ frac {a} {\ sqrt {\ varphi}}}}$

• 

  Spirale logaritmica:
  ${\ displaystyle r = ae ^ {k \ varphi}}$

Oltre a queste spirali, ci sono anche quelle che non rientrano in questo concetto:

• Spirale di Teodoro . Non è una curva liscia, ma un poligono con lati di lunghezza 1.
• Clotoide (spirale di Cornu). Ha due punti asintotici.

• 

  Spirale di Teodoro

• 

  Cornu a spirale

proprietà

Coordinate polari: definizione di settore (azzurro) e angolo di pendenza polare ( )${\ displaystyle \ alfa}$

Angolo di inclinazione polare

L'angolo a cui la tangente spirale interseca la circonferenza polare associato viene chiamata la pendenza polare angolazione e la pendenza polare. La formula per i risultati del vettore tangente${\ displaystyle \ alfa}$${\ displaystyle \ tan \ alpha}$

${\ displaystyle \ tan \ alpha = {\ frac {r '} {r}} \.}$

Per una spirale con l'equazione è la pendenza polare ${\ displaystyle \; r = a \ varphi ^ {n} \;}$

• ${\ displaystyle \ tan \ alpha = {\ frac {n} {\ varphi}} \.}$

Perché la spirale di Archimede è e con essa${\ stile di visualizzazione n = 1}$${\ displaystyle \; \ tan \ alpha = {\ tfrac {1} {\ varphi}} \.}$

Per la spirale logaritmica è costante.${\ displaystyle \ \ tan \ alpha = k \}$

curvatura

La curvatura di una curva in rappresentazione polare è ${\ displaystyle \ kappa}$

${\ displaystyle \ kappa = {\ frac {r ^ {2} +2 (r ') ^ {2} -r \; r' '} {(r ^ {2} + (r') ^ {2}) ^ {3/2}}} \.}$

Per una spirale con l'equazione otteniamo ${\ displaystyle r = a \ varphi ^ {n}}$

• ${\ displaystyle \ kappa = \ dotsb = {\ frac {1} {a \ varphi ^ {n-1}}} {\ frac {\ varphi ^ {2} + n ^ {2} + n} {(\ varphi ^ {2} + n ^ {2}) ^ {3/2}}} \.}$

Ad esempio è per (spirale di Archimede) . Quindi la spirale non ha punto di svolta. ${\ stile di visualizzazione n = 1}$ ${\ displaystyle \ kappa = {\ tfrac {\ varphi ^ {2} +2} {a (\ varphi ^ {2} +1) ^ {3/2}}}}$

La curvatura di una spirale logaritmica è${\ displaystyle \; r = ae ^ {k \ varphi} \;}$${\ displaystyle \; \ kappa = {\ tfrac {1} {r {\ sqrt {1 + k ^ {2}}}}} \ ;.}$

Area del settore

L'area di un settore curvo di una curva in rappresentazione polare è

${\ displaystyle A = {\ frac {1} {2}} \ int _ {\ varphi _ {1}} ^ {\ varphi _ {2}} r (\ varphi) ^ {2} \; d \ varphi \ .}$

Per una spirale con l'equazione otteniamo ${\ displaystyle r = a \ varphi ^ {n} \;}$

• ${\ displaystyle A = {\ frac {1} {2}} \ int _ {\ varphi _ {1}} ^ {\ varphi _ {2}} a ^ {2} \ varphi ^ {2n} \; d \ varphi = {\ frac {a ^ {2}} {2 (2n + 1)}} {\ big (} \ varphi _ {2} ^ {2n + 1} - \ varphi _ {1} ^ {2n + 1 } {\ big)} \, \ quad {\ text {if}} \ quad n \ neq - {\ frac {1} {2}},}$
• ${\ displaystyle A = {\ frac {1} {2}} \ int _ {\ varphi _ {1}} ^ {\ varphi _ {2}} {\ frac {a ^ {2}} {\ varphi}} \; d \ varphi = {\ frac {a ^ {2}} {2}} (\ ln \ varphi _ {2} - \ ln \ varphi _ {1}) \, \ quad {\ text {if}} \ quad n = - {\ frac {1} {2}} \.}$

L'area del settore di una spirale logaritmica è ${\ displaystyle \; r = ae ^ {k \ varphi} \;}$${\ displaystyle \ A = {\ tfrac {r (\ varphi _ {2}) ^ {2} -r (\ varphi _ {1}) ^ {2})} {4k}} \.}$

Lunghezza dell'arco

La lunghezza di un arco di curva in rappresentazione polare è

${\ displaystyle L = \ int \ limit _ {\ varphi _ {1}} ^ {\ varphi _ {2}} {\ sqrt {\ left (r ^ {\ prime} (\ varphi) \ right) ^ {2 } + r ^ {2} (\varphi)}} \, \ mathrm {d} \ varphi \.}$

Per una spirale con l'equazione otteniamo ${\ displaystyle r = a \ varphi ^ {n} \;}$

• ${\ displaystyle L = \ int _ {\ varphi _ {1}} ^ {\ varphi _ {2}} {\ sqrt {{\ frac {n ^ {2} r ^ {2}} {\ varphi ^ {2 }}} + r ^ {2}}} \; d \ varphi = a \ int \ limit _ {\ varphi _ {1}} ^ {\ varphi _ {2}} \ varphi ^ {n-1} {\ sqrt {n ^ {2} + \ varphi ^ {2}}} d \ varphi \.}$

Questi integrali non sono più risolvibili per tutti . Nel caso della spirale di Fermat, il risultato è un integrale ellittico . ${\ stile di visualizzazione n}$

La lunghezza d'arco di una spirale logaritmica è${\ displaystyle \; r = ae ^ {k \ varphi} \;}$${\ displaystyle \ L = {\ tfrac {\ sqrt {k ^ {2} +1}} {k}} {\ big (} r (\ varphi _ {2}) - r (\ varphi _ {1}) {\ grande)} \.}$

Spirali limitate

Spirali vincolate: (sinistra), (destra)
${\ displaystyle r = a \ arctan (k \ varphi)}$
${\ displaystyle r = a (\ arctan (k \ varphi) + \ pi / 2)}$

La funzione di una spirale è solitamente una funzione strettamente monotona , continua e illimitata . Negli esempi standard, c'è una funzione di potenza o una funzione esponenziale. Tuttavia, si può anche scegliere per una funzione ristretta, strettamente monotona e ottenere così una spirale ristretta . Una funzione adatta per questo è l' arcotangente : ${\ displaystyle r (\ varphi)}$${\ displaystyle r (\ varphi)}$${\ displaystyle r (\ varphi)}$

Esempio 1

Se posizioni e scegli , ottieni una spirale che inizia all'origine (come la spirale di Archimede) e si avvicina al cerchio con un raggio (a sinistra nell'immagine). ${\ displaystyle \; r = a \ arctan (k \ varphi) \;}$${\ displaystyle \; k = 1/10, \; a = 4, \; \ varphi \ geq 0}$${\ displaystyle \; r = 2 \ pi \;}$

Esempio 2

Se posizioni e scegli , ottieni una spirale che si avvicina all'origine (come la spirale iperbolica) e si avvicina al cerchio con un raggio (nella foto a destra). ${\ displaystyle \; r = a (\ arctan (k \ varphi) + \ pi / 2) \;}$${\ displaystyle \; k = 1/5, \; a = 2, \; - \ infty <\ varphi <\ infty}$${\ displaystyle \; r = 2 \ pi \;}$

Spirali spaziali

Spirale conica con spirale di Archimede in pianta

Spirali coniche

È nel livello - attraverso la rappresentazione parametrica ${\ stile di visualizzazione x}$${\ stile di visualizzazione y}$

${\ displaystyle x = r (\ varphi) \ cos \ varphi \, \ qquad y = r (\ varphi) \ sin \ varphi}$

Data una spirale piana, si può aggiungere una terza coordinata in modo tale che la curva spaziale risultante giaccia sul cono circolare verticale con l'equazione : ${\ displaystyle z (\ varphi)}$${\ displaystyle \; m ^ {2} (x ^ {2} + y ^ {2}) = (z-z_ {0}) ^ {2} \, \ c> 0 \;}$

• ${\ displaystyle x = r (\ varphi) \ cos \ varphi \, \ qquad y = r (\ varphi) \ sin \ varphi \, \ qquad \ color {red} {z = z_ {0} + mr (\ varphi )} \.}$

Spirali di questo tipo sono chiamate spirali coniche. Erano già noti a Pappo .

esempio

Ipotizzando una spirale di Archimede si ottiene la spirale conica (vedi foto) ${\ displaystyle \; r (\ varphi) = a \ varphi \;}$

${\ displaystyle x = a \ varphi \ cos \ varphi \, \ qquad y = a \ varphi \ sin \ varphi \, \ qquad z = z_ {0} + ma \ varphi \, \ quad \ varphi \ geq 0 \. }$

In questo caso, la spirale conica può essere intesa anche come l'intersezione di un cono e di una superficie elicoidale .

Spirale sferica con ${\ stile di visualizzazione c = 8}$

Spirali sferiche

Se rappresenti una sfera con un raggio in coordinate sferiche: ${\ stile di visualizzazione r}$

${\ displaystyle {\ begin {allineato} x & = r \ cdot \ sin \ theta \ cdot \ cos \ varphi \\ y & = r \ cdot \ sin \ theta \ cdot \ sin \ varphi \\ z & = r \ cdot \ cos \ theta \ end {allineato}}}$

e se l'angolo è linearmente dipendente si ottiene una spirale sferica con la rappresentazione parametrica ${\ displaystyle \; \ varphi = c \ theta, \; c> 2 \;}$

• ${\ displaystyle {\ begin {allineato} x & = r \ cdot \ sin \ theta \ cdot \ cos {\ color {red} c \ theta} \\ y & = r \ cdot \ sin \ theta \ cdot \ sin { \ color {rosso} c \ theta} \\ z & = r \ cdot \ cos \ theta \ qquad \ qquad 0 \ leq \ theta \ leq \ pi \. \ end {allineato}}}$

Spirali sferiche sono state esaminate anche da Pappo. Sono curve speciali di Clelia .

Consentito così , si ottiene una curva vivianische . ${\ stile di visualizzazione c = 1}$${\ displaystyle \; \ varphi = \ theta \;}$

Nota: una Losodrome non è una spirale sferica nel senso spiegato qui.

• 

  Spirale sferica

• 

  Losodrome

nell'arte

A differenza della natura e della maggior parte delle costruzioni geometriche, nell'arte ci sono anche doppie spirali rivolte verso l'interno e verso l'esterno.

Preistoria e antichità

Newgrange - pietra all'ingresso.
Nella metà sinistra dell'immagine c'è già un accenno di una tripla spirale ( triskele ).

Vaso decorato con spirali del periodo egiziano Naqada II

Le spirali comparvero già in epoca preistorica come comune motivo ornamentale su pietra e ceramica . Se ne trovano esempi nelle ceramiche a nastro del Neolitico, ma anche nelle prime culture avanzate dell'Egitto , di Creta e della Cina . In Europa, i motivi a spirale sono diffusi dalle culture megalitiche attraverso l' età del bronzo fino alla prima età del ferro , nonché tra i Celti e i Teutoni e compaiono anche sulla ceramica iberica .

Le spirali trasmettono un'idea di infinito, ma possono anche essere pensate per proteggere dai disastri ( apotropaici ) o persino funzionare come simboli tribali.

Spirali triple e multiple

Tripla spirale come motivo preistorico ( triskele ) o triskele celtico

Nella chiesa di Vallstena è stata trovata una pietra di Gotland , la cui parte centrale è decorata con un quadruplice ornamento a spirale. Il segno, che è molto più antico come tripla spirale e si trova in una certa misura nella tomba a corridoio di Newgrange in Irlanda, può essere trovato a Gotland come una combinazione di 4, 6 e 7 volte. Teste di animali stilizzate e immagini più realistiche di persone e animali sono talvolta combinate con questo motivo geometrico. La spirale, come la ruota del vortice , è probabilmente un simbolo del sole o una rappresentazione di una moltitudine di dei. Il colore sosteneva l'ornamento piatto ma finemente intagliato e metteva in risalto l'immagine. Il motivo a spirale appare in varie forme e composizioni sulle pietre più antiche, realizzate tra il 400 e il 600 d.C. Tuttavia, i motivi a spirale compaiono sia prima che dopo in vari contesti di reperti. Nelle isole britanniche sono comuni intorno alla nascita di Cristo, e nell'arte tardo celtica diversi secoli più giovani possono essere studiati nei primi manoscritti cristiani. Quest'arte è più vicina nel tempo alle pietre pittoriche; è stato quindi suggerito che ci sia qualche connessione.

Motivi a spirale nel Medioevo

Nell'arte europea del Medioevo ( romanico e gotico ) si trovano raramente motivi a spirale, sebbene - soprattutto nei trafori gotici  - fossero comuni i giochi geometrici (ludi geometrici) e nel tardo gotico portassero anche a forme a tre passaggi centrate e disegnate , che ricordano i vecchi motivi a spirale per svegliarsi. D'altra parte, labirinti , trecce , viticci e altro avvolgimento, ma molto spesso - a differenza delle spirali - sovrapposizione motivi decorativi stanno aumentando di numero. Nel campo del timpano della chiesa di Bembrive ( provincia di Pontevedra , Spagna) si notano tre spirali; la facciata dell'arco del portale interno della chiesa di San Pedro de Gaíllos ( provincia di Segovia , Spagna) mostra - oltre a rosoni e vertebre - anche piccole volute. Sono più comuni su porte medievali e accessori per il petto, ma lì si sviluppano da bande diritte.

• 

  Capitale a Zvartnots , Armenia (VII secolo)

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  Portale della Chiesa di San Pedro de Gaíllos , particolare

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  Campo del timpano della chiesa di Bembrive

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  Capitello della Chiesa di Franchesse

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  Accessori a spirale sulla porta della Chiesa di Navata

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  Accessori a spirale sulla porta della chiesa di Prats-de-Mollo-la-Preste

Rinascimento, Barocco, Art Nouveau

Nel Rinascimento la spirale si fece strada nell'arabesco e nel grottesco , in architettura la si ritrova nella voluta così come nelle volute e nel manierismo nella caratteristica figura serpentinata . Le spirali nelle volute dei periodi Barocco e Art Nouveau (ad esempio in Gustav Klimt ) sperimentano momenti culminanti tardivi .

Friedensreich Hundertwasser ha usato la spirale come simbolo di nascita e morte nel suo stile artistico e l'amava perché contrastava la linea retta.

Scienze sociali

Nei sondaggi , Elisabeth Noelle-Neumann ha usato la metafora " spirale del silenzio " per spiegare e allo stesso tempo combattere un certo reciproco accumulo di reazioni sociali : nell'opinione pubblica , alcuni punti di vista minoritari sono rappresentati in modo così enfatico che la maggioranza esita a starei affatto a dire che la minoranza diventerebbe sempre più dittatoriale e la maggioranza sempre più muta, ecc. Empiricamente, questa connessione è molto difficile da verificare.

In generale, ogni meccanismo che provoca un'escalation dello stato viene definito spirale, ad esempio "spirale di violenza". Nella scienza dei sistemi , gli oscillatori armonici che crescono (escalation) mostrano in modo esponenziale spirali logaritmiche nei loro diagrammi dello spazio delle fasi (escalation spirals ). Pertanto, questo termine è matematicamente più corretto del termine usato come sinonimi “ circolo vizioso ”, che non include alcuna escalation degli stati.

Nella natura

Guscio di una lumaca

Girasole con 'spirali' di Fibonacci 34 e 55 (meglio: 'vortici')

Molte piante e alcuni animali hanno strutture a spirale nel loro progetto, come il guscio della lumaca . Esempi fossili sono le ammoniti . La "disposizione" di queste spirali generate biologicamente, che sono per lo più basate su spirali logaritmiche, è di nuovo nella stragrande maggioranza dei casi come una sequenza di Fibonacci .

Inoltre - spesso tridimensionalmente connesso con la chiralità :

• Coclea (coclea latina) dell'orecchio nell'orecchio interno dei mammiferi
• Il corno di alcune specie di pecore

In fisica, una particella carica elettricamente che si muove in un campo magnetico segue un percorso a spirale. Il prerequisito è che la particella non si muova parallela, antiparallela o trasversale all'orientamento nord-sud del campo magnetico. La forza che costringe la particella su un percorso a spirale è chiamata forza di Lorentz . A rigor di termini, questa traiettoria è un'elica . Quando ci si sposta parallelamente o antiparallelo all'orientamento nord-sud del campo magnetico, viene creata una traiettoria diritta e quando ci si sposta trasversalmente all'orientamento nord-sud del campo magnetico, viene creato un percorso circolare. Quando una particella caricata elettricamente emette energia attraverso la radiazione elettromagnetica su un tale percorso circolare, si muove su un percorso a spirale sempre più stretto. La traiettoria elicoidale della particella caricata elettricamente è una sovrapposizione di una traiettoria diritta e una traiettoria circolare. Quando l'energia viene persa attraverso la radiazione elettromagnetica, e anche in campi magnetici disomogenei, le spirali coniche nascono dalla sovrapposizione di vite e spirale.

Guarda anche

• vortice
• Ulam spirale
• Il dispositivo intrauterino , noto anche colloquialmente come "bobina", è un metodo contraccettivo

link internet

• Armeggiare con la matematica: spirali. Su: Mathematische-Basteleien.de.
• Esempi di spirali nel regno vegetale. Su: Maven.Smith.edu.
• Vi Hart: scarabocchi in matematica: spirali, Fibonacci ed essere una pianta. Su: YouTube.com.
• Galleria Jamnitzer : spirali 3D.

Evidenze individuali

1. ^ Siegmund Günther, Anton Edler von Braunmühl, Heinrich Wieleitner: Storia della matematica. GJ Göschen, 1921, pagina 92.
2. ↑ Kuno Fladt: Geometria analitica di superfici speciali e curve spaziali. Springer-Verlag, 2013, ISBN 978-3-322-85365-3 , pagina 132.
3. ↑ ^{a b} Wolf Stadler ao: Lessico dell'Arte 11° Sem - Tot. Karl Müller Verlag, Erlangen 1994, ISBN 3-86070-452-4 , pagina 113.
4. ^ Henri Brunner: Destra o sinistra - in natura e altrove. Wiley-VCH, Weinheim 1999, ISBN 3-527-29974-2 , pp. 45-65.