ottaedro

ottaedro
Tipo di superfici laterali	triangoli equilateri
Numero di facce	8°
Numero di angoli	6°
Numero di bordi	12
Schläfli icon	{3.4}
doppio a	Esaedro (cubo)
Rete per il corpo
Numero di reti diverse	11
Numero di spigoli in un angolo	4°
Numero di angoli di una superficie	3
Ottaedro in formato STL

Il (anche, soprattutto austriaco : l') ottaedro [ ɔktaˈeːdɐ ] (dal greco antico ὀκτάεδροe oktáedros , tedesco 'ottagonale' ) è uno dei cinque solidi platonici , più precisamente un poliedro regolare ( poliedro , poliedro ) con

• 8 triangoli equilateri congruenti come superfici laterali
• 12 bordi di uguale lunghezza e
• 6 angoli, in cui si incontrano quattro lati

È sia una doppia piramide equilatera quadrilatera a base quadrata - nella sua proprietà di politopo a croce regolare della terza dimensione - sia un antiprisma equilatero con un triangolo equilatero come base .

simmetria

Tre quadrati perpendicolari tra loro, ciascuno dei quali forma la base di una doppia piramide.

Ottaedro con esempi degli assi di rotazione e due piani di simmetria (rosso e verde)${\ stile di visualizzazione C_ {4}, C_ {3}, C_ {2}}$

A causa della sua elevata simmetria - tutti gli angoli , i bordi e le superfici sono simili tra loro - l'ottaedro è un poliedro regolare . Esso ha:

• 3 quadrupli assi di rotazione (attraverso angoli opposti)${\ stile di visualizzazione C_ {4}}$
• 4 triplici assi di rotazione (attraverso i centri delle superfici opposte )${\ stile di visualizzazione C_ {3}}$
• 6 doppi assi di rotazione (attraverso i centri dei bordi opposti)${\ displaystyle C_ {2}}$
• 9 livelli di simmetria (3 livelli attraverso quattro angoli ciascuno (es. rosso), 6 livelli attraverso due angoli ciascuno e due centri del bordo (es. verde))
• 14 rotazioni (6 per 90 ° con piani attraverso quattro angoli ciascuno e 8 per 60 ° con piani attraverso sei centri del bordo ciascuno)

ed è

• punto simmetrico al centro.

In totale, il gruppo di simmetria dell'ottaedro - il gruppo ottaedro o il gruppo cubo - ha 48 elementi.

Relazioni con altri poliedri

L'ottaedro è il poliedro duale dell'esaedro ( cubo ) (Fig. 1) e viceversa.

Immagine 2: Due tetraedri regolari inscritti in un cubo formano un tetraedro a stella

Fig. 1: Ottaedro con doppio cubo . I centri dei quadrati sono gli angoli del l'ottaedro.

Due tetraedri regolari (vedi Figura 2: un tetraedro in toni rossi, l'altro in toni verdi) possono essere inscritti in un cubo in modo tale che gli angoli siano allo stesso tempo angoli del cubo e gli spigoli siano diagonali delle superfici del cubo. L' unione è una stella tetraedro

L' intersezione tridimensionale dei due tetraedri (Fig. 3) è un ottaedro con metà della lunghezza del lato. Se, sulle otto facce dell'ottaedro tetraedro per creare anche una stella tetraedro.

Se un ottaedro è circoscritto da un tetraedro regolare (Fig. 4), i 6 vertici dell'ottaedro sono i centri dei 6 bordi del tetraedro e 4 delle 8 facce dell'ottaedro giacciono nelle facce laterali di uno dei due possibili tetraedri. L'ottaedro viene creato quando 4 tetraedri con la stessa lunghezza laterale vengono tagliati da un tetraedro con doppia lunghezza del bordo.

Con l'aiuto di ottaedri e cubi , si possono costruire numerosi corpi che hanno anche il gruppo ottaedro come gruppo di simmetria . Quindi ottieni per esempio

• l' ottaedro troncato con 8 esagoni e 6 quadrati
• il cubottaedro con 8 triangoli e 6 quadrati, cioè con 14 facce e 12 angoli
• il cubo troncato con 8 triangoli e 6 ottagoni

come l'intersezione di un ottaedro con un cubo (vedi solidi di Archimede ) e

• il dodecaedro rombico con 8 + 6 = 14 angoli e 12 losanghe come facce

come un guscio convesso di un'unione di un ottaedro con un cubo .

Immagine 3: Due tetraedri nel cubo hanno un ottaedro metà della lunghezza del lato come intersezione tridimensionale .

Fig. 4: Un tetraedro regolare con il doppio della lunghezza di un lato descrive un ottaedro. I 6 vertici dell'ottaedro sono quindi i centri dei 6 spigoli del tetraedro.

formule

Dimensioni di un ottaedro con lunghezza del bordo a
volume	${\ displaystyle V = {\ frac {a ^ {3}} {3}} \ cdot {\ sqrt {2}} \ circa 0 {,} 471 \ cdot a ^ {3}}$	senza angoli solidi negli angoli${\ displaystyle \ Omega}$
Superficie	${\ displaystyle A_ {O} = 2 \ volte a ^ {2} \ volte {\ sqrt {3}} \ circa 3 {,} 464 \ volte a ^ {2}}$
Umkugelradius	${\ displaystyle r_ {u} = h_ {p} = {\ frac {a} {\ sqrt {2}}} \ circa 0 {,} 707 \ cdot a}$
Raggio della sfera del bordo	${\ displaystyle r_ {k} = {\ frac {a} {2}} = 0 {,} 5 \ cdot a}$
Incre raggio della sfera	${\ displaystyle r_ {i} = {\ frac {a} {6}} \ cdot {\ sqrt {6}} \ circa 0 {,} 408 \ cdot a}$
Rapporto tra volume  e volume della sfera	${\ displaystyle {\ frac {V} {V_ {UK}}} = {\ frac {1} {\ pi}} \ circa 0 {,} 318}$
Angolo interno del triangolo equilatero	${\ displaystyle \ alfa = 60 ^ {\ circ}}$
Angolo tra facce adiacenti	${\ displaystyle \ beta = \ arccos \ left (- {\ frac {1} {3}} \ right)}$  ${\ displaystyle \ circa 109 ^ {\ circ} \; 28 ^ {\ prime} \; 16 ^ {\ prime \ prime}}$
Angolo tra bordo e faccia	${\ displaystyle \ gamma = 45 ^ {\ circ}}$
Angoli del bordo 3D	${\ displaystyle \ delta = 90 ^ {\ circ}}$
Angoli solidi negli angoli	${\ displaystyle \ Omega = \ arccos \ left ({\ frac {17} {81}} \ right) \ circa 1 {,} 3594 \; \ mathrm {sr}}$
Sfericità	${\ displaystyle \ Psi = {\ sqrt [{3}] {\ frac {\ pi} {3 {\ sqrt {3}}}}} \ circa 0 {,} 846}$

Calcolo dell'ottaedro regolare

volume

L'ottaedro consiste essenzialmente di due piramidi assemblate con base quadrata e lunghezza del bordo${\ displaystyle A_ {Gp}}$${\ stile di visualizzazione a.}$

Per le piramidi e quindi per metà del volume dell'ottaedro si applica

${\ displaystyle V_ {p} = {\ frac {1} {3}} \ cdot A_ {G_ {p}} \ cdot h_ {p},}$

lì c'è l'area di base ( quadrata )

${\ stile di visualizzazione A_ {G} = a ^ {2},}$

e l' altezza della piramide

${\ displaystyle h_ {p} = {\ frac {a} {\ sqrt {2}}},}$

con variabili inserite e il fattore 2

${\ displaystyle {\ begin {allineato} V & = 2 \ cdot \ left ({\ frac {1} {3}} \ cdot a ^ {2} \ cdot {\ frac {a} {\ sqrt {2}} } \ destra) \\ & = {\ frac {a ^ {3}} {3}} \ cdot {\ sqrt {2}} \; \ circa 0 {,} 471 \ cdot a ^ {3} \ end { allineato }}}$

Se il volume di un tetraedro regolare è noto in funzione della lunghezza del bordo, allora il volume dell'ottaedro può essere calcolato anche come la differenza tra il volume di un tetraedro circoscritto con la lunghezza del bordo e 4 tetraedri congruenti con la lunghezza del bordo . Logicamente, il risultato è lo stesso volume ${\ displaystyle 2 \ cdot a}$${\ stile di visualizzazione a}$

${\ displaystyle {\ begin {allineato} V & = {\ frac {(2 \ cdot a) ^ {3}} {12}} \ cdot {\ sqrt {2}} - 4 \ cdot {\ frac {a ^ { 3}} {12}} \ cdot {\ sqrt {2}} \\ & = {\ frac {a ^ {3}} {3}} \ cdot {\ sqrt {2}} \; \ circa 0 { , } 471 \ cdot a ^ {3} \ end {allineato}}}$

Superficie

Quanto segue si applica alla superficie dell'ottaedro (otto triangoli equilateri) ${\ stile di visualizzazione A_ {O}}$

${\ displaystyle A_ {O} = 8 \ cdot {\ frac {\ sqrt {3}} {4}} \ cdot a ^ {2} = 2 \ cdot a ^ {2} \ cdot {\ sqrt {3}} \ circa 3 {,} 464 \ cdot a ^ {2}.}$

Altezza della piramide

L'altezza della piramide può essere determinata utilizzando il seguente triangolo rettangolo. ${\ displaystyle h_ {p}}$

Le lunghezze dei lati di questo triangolo sono (vedi immagine nelle formule ): altezza del lato come ipotenusa, altezza della piramide come lato grande e metà della lunghezza del bordo della piramide come lato piccolo. ${\ displaystyle h_ {s}}$${\ displaystyle h_ {p}}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} \ cdot a}$

Quanto segue si applica all'altezza del triangolo equilatero ${\ displaystyle h_ {s}}$

 ${\ displaystyle h_ {s} = {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} \ cdot a}$

e secondo il teorema di Pitagora si applica

${\ displaystyle {\ begin {allineato} \; h_ {p} ^ {2} & = h_ {s} ^ {2} - \ left ({\ frac {1} {2}} \ cdot a \ right) ^ {2} = h_ {s} ^ {2} - {\ frac {1} {4}} \ cdot a ^ {2} = {\ frac {3} {4}} \ cdot a ^ {2} - { \ frac {1} {4}} \ cdot a ^ {2} \; \ Rightarrow \\ & = {\ frac {1} {2}} \ cdot a ^ {2} \ Rightarrow \\ h_ {p} & = {\ sqrt {{\ frac {1} {2}} \ cdot a ^ {2}}} = {\ sqrt {\ frac {1} {2}}} \ cdot a = {\ frac {a} { \ sqrt {2}}} \; \ circa 0 {,} 707 \ cdot a. \; \ end {allineato}}}$

Angolo tra facce adiacenti

Questo angolo, contrassegnato con (vedi figura nelle formule ), ha il suo apice in corrispondenza di uno spigolo dell'ottaedro. Può essere determinato utilizzando il seguente triangolo rettangolo. ${\ displaystyle \ beta}$

Le lunghezze dei lati di questo triangolo sono: raggio della sfera del bordo come ipotenusa, raggio dell'incisfera come un grande cateto e un terzo dell'altezza del lato come un piccolo cateto. Questo valore è determinato dalla posizione del baricentro dell'area triangolare, poiché il baricentro geometrico divide l'altezza del triangolo in un rapporto di 2: 1. ${\ displaystyle r_ {k}}$${\ displaystyle r_ {i}}$${\ textstyle {\ frac {1} {3}} \ cdot h_ {s}}$

Quanto segue si applica all'angolo${\ displaystyle \ beta}$

${\ displaystyle {\ begin {allineato} \; \ cos {\ frac {\ beta} {2}} & = {\ frac {{\ frac {1} {3}} \ cdot h_ {s}} {r_ { k}}} = {\ frac {{\ frac {1} {3}} \ cdot \ sinistra ({\ frac {\ sqrt {3}} {2}} \ destra) \ cdot a} {\ frac {a } {2}}} = {\ frac {{\ frac {1} {6}} \ cdot {\ sqrt {3}}} {\ frac {1} {2}}} = {\ frac {1} { \ sqrt {3}}} \; \ Rightarrow \\\ cos \ beta & = \ cos \ left (\ arccos \ left ({\ frac {1} {\ sqrt {3}}} \ right) \ cdot 2 \ right) = - {\ frac {1} {3}} \ Rightarrow \\\ beta & = \ arccos \ left (- {\ frac {1} {3}} \ right) \ circa 109 ^ {\ circ} \ ; 28 ^ {\ prime} \; 16 ^ {\ prime \ prime}. \; \ End {allineato}}}$

Angolo tra bordo e faccia

Questo angolo, indicato con , ha il suo apice in un angolo dell'ottaedro. L'angolo può essere determinato utilizzando il seguente triangolo rettangolo. ${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle \ gamma}$

Le lunghezze dei lati di questo triangolo sono (vedi figura nelle formule ): bordo della piramide come ipotenusa, altezza della piramide come cateto grande e metà della diagonale di un quadrato con lunghezza del lato/spigolo come cateto piccolo. ${\ stile di visualizzazione a}$${\ displaystyle h_ {p}}$${\ stile di visualizzazione a}$${\ displaystyle {\ tfrac {d} {2}} = {\ tfrac {a} {\ sqrt {2}}}}$

Quanto segue si applica all'angolo${\ displaystyle \ gamma}$

${\ displaystyle {\ begin {allineato} \; \ cos \ gamma & = {\ frac {h_ {p}} {\ frac {d} {2}}} = {\ frac {\ frac {a} {\ sqrt {2}}} {\ frac {a} {\ sqrt {2}}}} = 1 \\\ gamma & = \ arccos \ left (1 \ right) = 45 ^ {\ circ}. \; \ End { allineato}}}$

Angolo del bordo 3D

Questo angolo, contrassegnato con (vedi figura nelle formule ), ha il vertice in un angolo dell'ottaedro e corrisponde al doppio dell'angolo d. h. l' angolo interno di un quadrato . ${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle \ gamma,}$

Vale quindi per l'angolo del bordo 3D dell'ottaedro

${\ displaystyle \ delta = 90 ^ {\ circ}.}$

Angoli solidi negli angoli

La seguente formula, descritta in Solidi platonici , mostra una soluzione per l' angolo solido${\ displaystyle \ Omega}$

${\ displaystyle \ Omega = 2 \ pi -2n \ cdot \ arcsin \ left (\ cos \ left ({\ frac {\ pi} {n}} \ right) \ cdot {\ sqrt {\ tan ^ {2} \ sinistra ({\ frac {\ pi} {n}} \ destra) - \ tan ^ {2} \ sinistra ({\ frac {\ alpha} {2}} \ destra)}} \ destra)}$

Con il numero di spigoli/superfici in corrispondenza di un angolo e l'angolo interno del triangolo equilatero, si applica quanto segue ${\ stile di visualizzazione {n = 4}}$${\ displaystyle {a = 60 ^ {\ circ}}}$

${\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ mathsf {(1)}} \; \ Omega & = 2 \ pi -2 \ cdot 4 \ cdot \ arcsin \ left (\ cos \ left ({\ frac {\ pi } {4}} \ destra) \ cdot {\ sqrt {\ tan ^ {2} \ sinistra ({\ frac {\ pi} {4}} \ destra) - \ tan ^ {2} \ sinistra ({\ frac {60 ^ {\ circ}} {2}} \ right)}} \ right) \ Rightarrow \\ & = 2 \ pi -8 \ cdot \ arcsin \ left ({\ frac {1} {\ sqrt {3} }} \ destra) \ circa 1 {,} 359347638 \; \ mathrm {sr} \\\ end {allineato}}}$

a causa di esso ${\ displaystyle \ cos (\ arcsin x) = {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}$

${\ displaystyle {\ begin {allineato} {\ mathsf {(2)}} \; \ cos (\ arcsin x) & = {\ sqrt {1- \ left ({\ frac {1} {\ sqrt {3} }} \ destra) ^ {2}}} = {\ frac {\ sqrt {6}} {3}} \ freccia destra \\\ end {allineato}}}$

usato in e formato ${\ displaystyle {\ mathsf {(2)}}}$${\ displaystyle {\ mathsf {(1)}}}$

${\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ mathsf {(3)}} \; \ Omega & = 2 \ pi -8 \ cdot \ arccos \ left ({\ frac {\ sqrt {6}} {3}} \ destra) \ circa 1 {,} 359347638 \; \ mathrm {sr} \; \ end {allineato}}}$

semplificazione

${\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ mathsf {(4)}} \; \ cos \ Omega & = \ cos \ left (2 \ pi -8 \ cdot \ arccos \ left ({\ frac {\ sqrt { 6}} {3}} \ destra) \ destra) = {\ frac {17} {81}} \ freccia destra \\\ end {allineato}}}$

${\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ mathsf {(5)}} \; \ Omega & = \ arccos \ left ({\ frac {17} {81}} \ right) \ circa 1 {,} 359347638 \ ; \ mathrm {sr}. \; \ end {allineato}}}$

Definizione come insieme di punti

L'ottaedro può essere definita come un insieme di punti in tre dimensioni dello spazio euclideo , dove la somma dei i valori assoluti delle 3 coordinate nel sistema di coordinate cartesiane è tutt'al più grande come il raggio della sfera . Formalmente, tale importo può essere svalutato come ${\ displaystyle r_ {u} = {\ tfrac {a} {\ sqrt {2}}}}$

${\ displaystyle \ left \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {3} \ mid \ left \ | x \ right \ | _ {1} \ leq r_ {u} \ right \} = \ left \ {( x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) \ mid \ left \ vert x_ {1} \ right \ vert + \ left \ vert x_ {2} \ right \ vert + \ left \ vert x_ {3 } \ destra \ vert \ leq r_ {u} \ destra \}}$

Qui, l' importo somma norm o 1-norma del vettore . Per l'interno dell'ottaedro vale e per la superficie vale . Secondo questa definizione, il punto centrale dell'ottaedro dell'origine delle coordinate ed i suoi vertici , , , , , si trovano sui 3 assi del sistema di coordinate cartesiane . ${\ displaystyle \ sinistra \ | x \ destra \ | _ {1}}$ ${\ stile di visualizzazione x}$${\ displaystyle \ sinistra \ | x \ destra \ | _ {1} <r_ {u}}$${\ displaystyle \ sinistra \ | x \ destra \ | _ {1} = r_ {u}}$ ${\ stile di visualizzazione (r_ {u}, 0,0)}$${\ displaystyle (-r_ {u}, 0,0)}$${\ stile di visualizzazione (0, r_ {u}, 0)}$${\ stile di visualizzazione (0, -r_ {u}, 0)}$${\ displaystyle (0,0, r_ {u})}$${\ displaystyle (0,0, -r_ {u})}$

Più in generale, un ottaedro che ha una qualsiasi posizione nello spazio euclideo tridimensionale può essere definito usando i vettori . È il vettore posizione del centro e sono , , vettori di direzione ortogonale che collegano il centro dell'ottaedro con 3 vertici, quindi un sistema ortogonale dello spazio vettoriale tridimensionale , quindi la quantità delle foglie dei Punti dell'ottaedro definita come la quantità dei vettori${\ displaystyle {\ vec {m}}}$${\ displaystyle {\ vec {u}}}$${\ displaystyle {\ vec {v}}}$${\ displaystyle {\ vec {w}}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

${\ displaystyle \ left \ {{\ vec {m}} + t_ {1} \ cdot {\ vec {u}} + t_ {2} \ cdot {\ vec {v}} + t_ {3} \ cdot { \vec {w}} \ in \ mathbb {R} ^ {3} \ mid \ left \ | t \ right \ | _ {1} \ leq r_ {u} \ right \} = \ left \ {{\ vec {m}} + t_ {1} \ cdot {\ vec {u}} + t_ {2} \ cdot {\ vec {v}} + t_ {3} \ cdot {\ vec {w}} \ in \ mathbb {R} ^ {3} \ metà \ sinistra \ vert t_ {1} \ destra \ vert + \ sinistra \ vert t_ {2} \ destra \ vert + \ sinistra \ vert t_ {3} \ destra \ vert \ leq r_ {hai ragione \}}$

generalizzazione

Gli analoghi dell'ottaedro in qualsiasi dimensione sono chiamati politopi incrociati tridimensionali e sono anche politopi regolari . Il politopo trasversale -dimensionale ha angoli ed è delimitato da simplessi -dimensionali (come sfaccettature ). Il politopo a croce quadridimensionale ha 8 angoli, 24 spigoli di uguale lunghezza, 32 triangoli equilateri come superfici laterali e 16 tetraedri come sfaccettature. Il politopo incrociato unidimensionale è un segmento , il politopo incrociato bidimensionale è il quadrato e il politopo incrociato tridimensionale è l'ottaedro. ${\ stile di visualizzazione n}$${\ stile di visualizzazione n}$${\ stile di visualizzazione n}$${\ displaystyle 2 \ cdot n}$${\ stile di visualizzazione 2 ^ {n}}$ ${\ stile di visualizzazione n-1}$

Un modello per il politopo trasversale -dimensionale è la sfera unitaria rispetto alla norma somma sum${\ stile di visualizzazione n}$

${\displaystyle\left\|x\right\| _ {1} =\left\vert x_{1}\right\vert +\cdots +\left\vert x_ {n}\right\vert}$ Per ${\ displaystyle x = (x_ {1}, \ punti, x_ {n}) \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$

nello spazio vettoriale . Il politopo trasversale (chiuso) è quindi ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

• l'ammontare

${\ displaystyle \ left \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ mid \ left \ | x \ right \ | _ {1} \ leq 1 \ right \} = \ left \ {(x_ {1 }, \ punti, x_ {n}) \ mid \ left \ vert x_ {1} \ right \ vert + \ cdots + \ left \ vert x_ {n} \ right \ vert \ leq 1 \ right \}}$.

• l' inviluppo convesso dei vertici , dove sono i versori .${\ displaystyle 2 \ cdot n}$${\ displaystyle \ pm e_ {i}}$${\ displaystyle e_ {i}}$
• l' intersezione delle semispazi divisa dalle iperpiani di forma${\ stile di visualizzazione 2 ^ {n}}$

${\ displaystyle \ pm x_ {1} \ pm \ cdots \ pm x_ {n} = 1}$

può essere determinato e contenere l'origine.

Il volume del -dimensionale cross-politopo è , dove il raggio della sfera è intorno alla origine delle coordinate rispetto alla norma somma. La relazione può essere dimostrata usando la ricorsione e il teorema di Fubini .${\ stile di visualizzazione n}$${\ displaystyle {\ tfrac {(2 \ cdot r) ^ {n}} {n!}}}$${\ stile di visualizzazione r> 0}$

Reti dell'ottaedro

L'ottaedro ha undici reti . Ciò significa che ci sono undici modi per dispiegare un ottaedro cavo aprendo 5 bordi e allargandolo nel piano . Gli altri 7 bordi collegano gli 8 triangoli equilateri della maglia. Per colorare un ottaedro in modo che nessuna faccia vicina sia dello stesso colore, sono necessari almeno 2 colori.

Una rete dell'ottaedro

Animazione di una rete di ottaedri

Grafici, doppi grafici, cicli, colori

La colorazione è illustrata
dall'ottaedro inscritto dal cubo duale

L'ottaedro ha un grafo planare non orientato con 6 nodi , 12 spigoli e 8 regioni ad esso assegnati, che è 4- regolare , cioè 4 spigoli partono da ogni nodo, così che il grado è 4 per tutti i nodi. Nel caso di grafici planari, l'esatta disposizione geometrica dei nodi è insignificante. È importante, tuttavia, che i bordi non debbano intersecarsi. I nodi di questo grafico ottaedrico corrispondono agli angoli del cubo.

I nodi del grafico ottaedrico possono essere colorati con 3 colori in modo che i nodi vicini siano sempre colorati in modo diverso. Ciò significa che il numero cromatico di questo grafico è 3. Inoltre, i bordi possono essere colorati con 4 colori in modo che i bordi adiacenti siano sempre colorati in modo diverso. Questo non è possibile con 3 colori, quindi l'indice cromatico per la colorazione dei bordi è 4 (l'immagine a destra illustra queste colorazioni).

Il grafico duale ( grafico a cubo) con 8 nodi , 12 bordi e 6 aree è utile per determinare il numero di colori richiesto per le superfici o le aree . I nodi di questo grafo sono assegnati uno a uno (biiettiva) alle aree del grafo ottaedrico e viceversa (vedi funzione biunivoca e figura sopra). I nodi del grafico del cubo possono essere colorati con 2 colori in modo che i nodi vicini siano sempre colorati in modo diverso, in modo che il numero cromatico del grafico del cubo sia uguale a 2. Da ciò si può indirettamente concludere: Poiché il numero cromatico è uguale a 2, sono necessari 2 colori per una tale colorazione superficiale dell'ottaedro o una colorazione delle aree del grafico dell'ottaedro.

Colorazione dei nodi del grafico ottaedrico

Colorazione dei bordi del grafico ottaedrico

Colorazione dell'area del grafico dell'ottaedro con colorazione a doppio nodo del grafico del cubo

I 5 bordi tagliati di ogni rete (vedi sopra) insieme agli angoli ( nodi ) formano un albero ricoprente del grafo dell'ottaedro. Ogni rete corrisponde esattamente a uno spanning tree e viceversa, per cui esiste un'assegnazione biunivoca ( biiettiva ) tra reti e spanning tree. Se consideri come grafico una rete di ottaedri senza l'area esterna, ottieni un grafico duale con un albero con 8 nodi e 7 bordi e il grado massimo di nodo 3. Ogni area dell'ottaedro è assegnata a un nodo del albero. Non tutte le costellazioni della teoria dei grafi (vedi isomorfismo dei grafi ) di tali alberi si verificano, ma alcune si verificano più di una volta .

Il grafico ottaedrico ha 32 cerchi di Hamilton e 1488 cerchi di Eulero .

Grafico ottaedrico con uno dei 32 cerchi di Hamilton

Riempimenti di stanze con ottaedri

Lo spazio euclideo tridimensionale può essere completamente riempito con solidi platonici o solidi di Archimede della stessa lunghezza del bordo. Tale piastrellatura tridimensionale è chiamata riempimento della stanza . I seguenti riempimenti di spazio contengono ottaedri:

• 

  Riempimento della stanza con ottaedro e tetraedro

• 

  Riempimento della stanza con cubottaedro e ottaedro

• 

  Riempimento della stanza con esaedro troncato e ottaedro

Sierpinski tetraedroski

Il tetraedro di Sierpinski . Il numero di tetraedri parziali quadruplica ad ogni passo di iterazione , il volume si avvicina a 0, l' area della superficie rimane costante .
Le cavità ritagliate ( poliedri ) sono ottaedri di diverse lunghezze laterali.

L'ottaedro è indirettamente correlato al tetraedro di Sierpinski . Il tetraedro di Sierpinski è la generalizzazione tridimensionale del triangolo di Sierpinski . La figura di partenza è un tetraedro . In ogni passo di iterazione, un ottaedro con metà della lunghezza del bordo viene tagliato fuori dal suo centro . Restano 4 tetraedri, da ognuno dei quali viene ritagliato un ottaedro, ecc.

Dopo la fase di iterazione , sono emersi evidentemente tetraedri parziali con la stessa lunghezza laterale. Il numero di ottaedri ritagliati con diverse lunghezze dei lati è . ${\ stile di visualizzazione k}$${\ stile di visualizzazione 4 ^ {k}}$${\ displaystyle {\ frac {4 ^ {k} -1} {3}}}$

La dimensione di questa struttura è , sebbene sia una figura nello spazio tridimensionale . Con un numero crescente di passi di iterazione, il volume della figura tende a zero, ma l' area della superficie rimane costante perché il numero di superfici laterali dei tetraedri parziali congruenti quadruplica ad ogni passo di iterazione, mentre la lunghezza laterale di queste superfici laterali , che sono tutti triangoli congruenti si dimezzano. ${\ displaystyle D = {\ frac {\ log (4)} {\ log (2)}} = 2}$

Applicazioni

Cristalli di allume ottaedrici

In chimica , la previsione delle geometrie molecolari secondo il modello VSEPR può portare a molecole ottaedriche . L' ottaedro appare anche nelle strutture cristalline , come la struttura cubica del cloruro di sodio a facce centrate (numero di coordinazione 6), nella cella elementare , nonché nella chimica complessa se 6 ligandi si trovano attorno a un atomo centrale .

Alcuni minerali naturali , ad es. B. allume , cristallizza in forma ottaedrica.

Nei giochi di ruolo vengono utilizzati dadi di gioco ottaedrici e denominati “D8”, ovvero un dado con 8 facce.

Guarda anche

• Numeri ottaedrici
• Diederwinkel
• poliedro
• Solido platonico

link internet

Wikizionario: ottaedro  - spiegazione dei significati, origine delle parole, sinonimi, traduzioni

• Euclide: Stoicheia. Libro XIII.14. Ottaedro di una sfera...
• Ottaedro . - Armeggiare con la matematica

Evidenze individuali

1. ^ Wilhelm Pape , Max Sengebusch (arrangiamento): Dizionario conciso della lingua greca . 3a edizione, 6a impressione. Vieweg & Sohn, Braunschweig 1914 ( zeno.org [consultato il 12 marzo 2020]). 
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3. ↑ Harish Chandra Rajpoot: Angoli solidi sottesi dai solidi platonici (poliedri regolari) ai loro vertici. SlideShare, marzo 2015, accesso 27 giugno 2020 . 
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6. ^ Martin Henk, Jürgen Richter-Gebert, Günter M. Ziegler, Technische Universität Berlin: proprietà di base dei politopi convessi
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9. ↑ Eric Weisstein: Grafico ottaedrico. In: MathWorld Wolfram. Una risorsa Web Wolfram, consultata il 27 giugno 2020 . 
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