Simplex (matematica)
Quando simplex o n -simplex , occasionalmente, iper-tetraedro n- dimensionale , è chiamato nella geometria di un particolare politopo n- dimensionale .
Un simplex è la forma più semplice di politopo . Ogni simplex dimensionale ha angoli. Un -Simplex viene creato da un -Simplex aggiungendo un punto indipendente affine (vedi sotto) e collegando tutti gli angoli del simplex di dimensione inferiore con questo punto sotto forma di formazione di cono mediante allungamento . Quindi, con dimensioni crescenti, c'è la serie punto , linea , triangolo , tetraedro . Un simplex è la continuazione di questa serie sulle dimensioni.
Definizioni
Affine indipendenza
Siano e siano finitamente molti punti di uno spazio vettoriale . Questi punti sono chiamati indipendenti affine se vale per gli scalari che segue da con quella .
In altre parole, non esiste un sottospazio affine dimensionale in cui giacciono i punti. Una formulazione equivalente è: L'importo è linearmente indipendente. In questo caso, ciascuno dei punti è affine indipendente dagli altri punti e anche dal sottospazio affine attraversato da essi .
Un insieme di punti di uno spazio vettoriale -dimensionale su ( ) è chiamato in posizione generale se ogni sottoinsieme composto al massimo da punti è indipendente affine .
simplex
Essere e sono affine punti indipendenti (o n spazio vettoriale dimensionale sopra proposta), poi il da attraversato (o generata) simplex uguale alla quantità:
- .
I punti sono chiamati vertici di e coordinate baricentriche . Il numero è la dimensione del simplex . Un simplex di dimensione è anche chiamato brevemente simplex . Un simplex non è quindi altro che lo scafo convesso di un numero finito di punti indipendenti affini im , che sono quindi i punti d'angolo di questo simplex.
Facce laterali e bordo
È un simplex. Ciascuno in un dato Simplex, che da un sottoinsieme non vuoto dei vertici del lato spanning ( sfaccettatura rara o sub Simplex ) di . I lati a dimensione zero (sfaccettature) sono precisamente i punti d'angolo o gli angoli , gli 1 lati (o 1 sfaccettatura) sono i bordi e i lati o le sfaccettature sono chiamati superfici laterali . L'unione delle superfici laterali è chiamata bordo del simplex :
Il numero di lati (o sfaccettature) del simplex è uguale al coefficiente binomiale .
Il -Simplex è il politopo dimensionale più semplice , misurato dal numero di angoli. Il metodo del simplesso dalla ottimizzazione lineare e il metodo di discesa simplex dall'ottimizzazione non lineare prendono il nome dal simplex .
esempio
- Uno 0 simplex è un punto .
- Un 1-simplex è una linea .
- Un 2-simplex è un triangolo .
- Un 3-simplex è un tetraedro (quattro angoli, quattro lati di triangoli, sei bordi); è generato da un triangolo (2-simplex), a cui viene aggiunto un punto che non è nel piano del triangolo e collegato a tutti gli angoli del triangolo.
- Un 4-simplex è anche chiamato pentachoron .
- Un esempio di un im -Simplex (vale a dire uno con un angolo retto all'origine) è attraverso
- dato. Questo simplex è chiamato unità simplex . È attraversato dal vettore nullo e vettori unitari della base tipo di e ha volume con la lunghezza dei vettori unitari .
volume
Il volume dell'unità simplex è . Se i punti sono des , allora legge la mappatura affine che trasforma l'unità simplex in simplex attraversata da
e il volume del simplex è dato da .
Simplex standard
Nella topologia algebrica , soprattutto nella definizione dell'omologia singolare , giocano un ruolo importante i cosiddetti simplex standard.
Lo standard -dimensionale simplex è quello dei vettori unitari , cioè degli angoli
simplex con estensione . Il simplex standard corrisponde quindi all'area laterale più grande di un'unità simplex.
Un simplex singolare è per definizione una mappatura continua dello standard simplex in uno spazio topologico , vedere omologia singolare .
Semplici con l'angolo destro
Un angolo ad angolo retto significa che ogni 2 bordi convergenti in questo angolo formano un angolo retto . In altre parole, il -Simplex ha un angolo in cui le sue ipersuperfici -dimensionali sono ortogonali l'una all'altra. Tale simplex rappresenta una generalizzazione dei triangoli rettangoli e in esso si applica una versione -dimensionale del teorema di Pitagora .
La somma del volume quadrato- dimensionale delle ipersuperfici adiacenti all'angolo retto è uguale al volume quadrato- dimensionale dell'ipersuperficie opposta all'angolo retto. Si applica quanto segue:
Qui, le ipersuperfici sono a coppie ortogonali tra loro ma non ortogonali all'ipersuperficie opposta all'angolo retto.
Nel caso di un 2-simplex, questo corrisponde a un triangolo rettangolo e al teorema di Pitagora, e nel caso di un 3- semplice, corrisponde a un tetraedro con un angolo di cubo e teorema di de Gua .
Proprietà di base dell'omeomorfismo
- Due simplex e la stessa dimensione sono sempre omeomorfi . Tale omeomorfismo è presente se gli insiemi di vertici di entrambi i simplex hanno un numero identico.
- A -Simplex im è sempre omeomorfo alla sfera k-dimensionale chiusa . Quindi ogni simplesso di uno spazio euclideo è un insieme compatto .
Complesso euclideo simpliciale
Un complesso simpliciale euclideo (in inglese complesso simpliciale euclideo ), nella letteratura tedesca per lo più complesso simpliciale chiamato, è una famiglia di simplices con le seguenti caratteristiche:
- Con ogni simplex , ogni lato appartiene a .
- L'intersezione di due simplex di è il lato vuoto o comune di entrambi i simplex.
- Ogni punto di un simplex ha (rispetto alla topologia standard di ) un ambiente che taglia al massimo un numero finito di simplex ( finitezza locale ).
L'unione formata da tutti i simplessi di e fornito con by derivante topologia di sottospazio , significa al corrispondente poliedri . La famiglia associata viene quindi chiamata anche triangolazione o scomposizione simpliciale di . Se ne esiste uno , si chiama triangolabile .
Un poliedro che è triangolava da un complesso simpliciale finito è sempre un sottoinsieme compatto del .
Complesso simpliciale astratto
Un complesso simpliciale astratto (. Complesso simpliciale astratto inglese ) è una famiglia di insiemi finiti non vuoti , che vengono chiamati simplex (astratti) incontrati, e la seguente proprietà:
- Con sempre, qualsiasi sottoinsieme non vuoto di in incluso.
Ogni elemento di un simplex è chiamato un angolo e ogni sottoinsieme non vuoto è chiamato un lato (o sfaccettatura). La dimensione di un simplex (astratto) con angoli è definita come . La dimensione di un complesso simpliciale è definita come il massimo delle dimensioni di tutti i simplex che si verificano in esso, a condizione che questo massimo esista. In questo caso, il complesso simpliciale è indicato come dimensione finita e detto massimo come sua dimensione . Se le dimensioni dei simplessi del complesso simpliciale crescono oltre tutti i limiti, il complesso simpliciale viene chiamato infinito-dimensionale .
applicazione
Un'applicazione è nel metodo simplex in discesa . Questo è un metodo di ottimizzazione in cui si vogliono trovare i valori dei parametri variandoli fino a quando la deviazione tra i valori misurati e una funzione teorica che dipende da questi parametri è minima. A tale scopo, un simplex di set di parametri viene impostato nello spazio dei parametri -dimensionali, la funzione di errore viene calcolata per ogni punto del simplex e quindi nel corso dell'algoritmo il "peggiore" di questi punti viene sostituito da uno (si spera) "migliore" (con un valore di errore inferiore) per tutto il tempo fino a quando non viene soddisfatto un criterio di convergenza o di altro tipo. Un simplex con un angolo ad angolo retto (come spiegato sopra) viene solitamente utilizzato come configurazione iniziale .
Anche i complessi simplex , simpliciali e poliedri sono ampiamente utilizzati in topologia . Uno degli esempi eccezionali di applicazione è il Teorema del punto fisso di Brouwer , con il quale Bronisław Knaster , Kazimierz Kuratowski e Stefan Mazurkiewicz hanno mostrato nel 1929 che questo teorema e i teoremi correlati della topologia nel contesto della teoria del simplex con metodi combinatori elementari, specialmente quando li usano del lemma di Sperner , può essere derivato.
letteratura
elementi
- Bronisław Knaster , Casimir Kuratowski , Stefan Mazurkiewicz : una dimostrazione del teorema del punto fisso per i simplex n-dimensionali. In: Fundamenta Mathematicae . Volume 14, No.1, 1929, pp. 132-137 (in linea ).
Monografie
- Egbert Harzheim : Introduzione alla topologia combinatoria (= matematica. Introduzione all'argomento e risultati delle sue sotto-aree e scienze correlate ). Scientific Book Society, Darmstadt 1978, ISBN 3-534-07016-X ( MR0533264 ).
- John M. Lee: Introduzione alle varietà topologiche (= Graduate Texts in Mathematics, 202 ). 2a edizione. Springer-Verlag, New York et al.2011 , ISBN 978-1-4419-7939-1 .
- Horst Schubert : Topologia . 4a edizione. BG Teubner Verlag, Stoccarda 1975, ISBN 3-519-12200-6 .
link internet
Prove individuali
- ^ E. Harzheim: Introduzione alla topologia combinatoria . 1978, p. 20th ff .
- ^ A b E. Harzheim: Introduzione alla topologia combinatoria . 1978, p. 4 .
- ^ E. Harzheim: Introduzione alla topologia combinatoria . 1978, p. 5 .
- ^ E. Harzheim: Introduzione alla topologia combinatoria . 1978, p. 26 .
- ^ H. Schubert: Topologia . 1975, p. 165 .
- ↑ IM James: Handbook of Algebraic Topology . Elsevier Science, 1995, ISBN 978-0-08-053298-1 , pagg. 3 .
- ^ AK Austin, RJ Webster: 3147. Una nota sul teorema di Pitagora. In: The Mathematical Gazette , Volume 50, No. 372, 1966, p. 171, doi: 10.2307 / 3611958 ( JSTOR ).
- ^ H. Schubert: Topologia . 1975, p. 165 .
- ^ H. Schubert: Topologia . 1975, p. 166 .
- ^ JM Lee: Introduzione ai collettori topologici . 2011, p. 149 .
- ^ E. Harzheim: Introduzione alla topologia combinatoria . 1978, p. 34 .
- ^ H. Schubert: Topologia . 1975, p. 167 .
- ^ Spesso, come per esempio in Harzheim, p. 34, o in Schubert, p. 167, è anche richiesto che solo un numero finito di simplex si presenti nel complesso simpliciale.
- ^ H. Schubert: Topologia . 1975, p. 167 .
- ^ E. Harzheim: Introduzione alla topologia combinatoria . 1978, p. 26 .
- ^ E. Harzheim: Introduzione alla topologia combinatoria . 1978, p. 37 .
- ^ JM Lee: Introduzione ai collettori topologici . 2011, p. 153 .
- ^ JM Lee: Introduzione ai collettori topologici . 2011, p. 153 ff .
- ↑ Schubert, p. 169, parla di uno "schema sempliciale". Schubert definisce un simplex astratto un insieme eccellente . Chiede inoltre che ogni elemento dell'insieme di base sia contenuto in un insieme distinto, cioè un simplex astratto.
- ^ E. Harzheim: Introduzione alla topologia combinatoria . 1978, p. 56-65, 317 .
- ↑ B. Knaster, C. Kuratowski, S. Mazurkiewicz: Una dimostrazione del teorema del punto fisso per i simplex -dimensionali . 1929, p. 132 ff .