Funzione Surjective

Una funzione suriettiva:
X è l' insieme di definizioni ,
Y è l'insieme di obiettivi

Una funzione suriettiva è una funzione matematica che prende ogni elemento del target impostato almeno una volta come valore di funzione. Cioè, ogni elemento del set di obiettivi ha un archetipo non vuoto .

Una funzione suriettiva è anche chiamata suriezione . Se è anche iniettiva , si chiama biiettiva . Nel linguaggio delle relazioni si parla anche di giuste funzioni totali.

definizione

Lascia che ci siano e set, così come una mappatura. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ Displaystyle f \ due punti X \ a Y}$

La mappatura si dice suriettiva se ce n'è (almeno) una da con per ognuna di esse . Tale mappa A è anche elencato come segue: . ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle f (x) = y}$${\ Displaystyle f \ due punti X \ twoheadrightarrow Y}$

Formale: (vedi quantificatore esistenziale e universale ). ${\ Displaystyle \ forall y \ in Y \ \ esiste x \ in X \ due punti f (x) = y}$

Illustrazioni grafiche

• 

  Il principio della suriettività:
  ogni punto del target impostato (Y) viene raggiunto almeno una volta

• 

  Grafici di tre funzioni suriettive tra intervalli reali

• 

  Un caso speciale di suriettività:
  il target set (Y) è costituito da un solo elemento

Esempi e controesempi

• La funzione vuota in un insieme di un elemento è probabilmente l'esempio più semplice di una funzione non suriettiva.${\ displaystyle \ emptyset \ to \ {\ bullet \}}$
• La funzione con è suriettiva, perché nessun numero reale ha un archetipo vuoto . Dall'equazione si ottiene l'equazione mediante conversione di equivalenza per cui l'insieme di un elemento risulta per ciascuno come un archetipo .${\ Displaystyle f \ due punti \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle f (x) = 2x + 1}$ ${\ displaystyle y}$${\ displaystyle y = 2x + 1}$${\ displaystyle x = (y-1) / 2,}$${\ displaystyle y \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ {{\ tfrac {y-1} {2}} \} \ subseteq \ mathbb {R}}$
• La funzione seno è suriettiva. Ogni linea orizzontale con taglia il grafico della funzione seno almeno una volta (anche indefinitamente).${\ Displaystyle \ sin \ colon \ mathbb {R} \ to [-1,1]}$${\ displaystyle y = c}$${\ displaystyle -1 \ leq c \ leq 1}$
• Tuttavia, la funzione seno non è suriettiva, poiché z. B. la retta non ha intersezione con il grafico, quindi il valore 2 non viene assunto come valore della funzione.${\ Displaystyle \ sin \ colon \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle y = 2}$
• ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$denotano l'insieme di numeri complessi .

${\ Displaystyle f_ {1} \ colon \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}, \, x \ mapsto x ^ {2}}$non è suriettivo, poiché z. B. è l'archetipo del gruppo vuoto (senza numero quadrato è negativo!).${\ displaystyle -1}$

${\ Displaystyle f_ {2} \ colon \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C}, \, x \ mapsto x ^ {2}}$ è suriettivo.

proprietà

• Si noti che la suriettività di una funzione dipende non solo dal grafico della funzione ma anche dal target impostato (a differenza dell'iniettività , la cui presenza può essere vista sul grafico della funzione):${\ Displaystyle f \ due punti A \ to B}$ ${\ displaystyle \ {(x, f (x)) \ mid x \ in A \},}$${\ displaystyle B}$

Se il set di destinazione di una funzione viene sostituito dal suo set di immagini , viene sempre creata una funzione suriettiva mentre ovviamente non ha bisogno di essere suriettiva.${\ Displaystyle f \ due punti A \ to B; \ x \ mapsto f (x)}$${\ displaystyle B}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {im} f: = f (A) = \ {f (x) \ mid x \ in A \},}$${\ Displaystyle g \ due punti A \ to \ operatorname {im} f; \ x \ mapsto f (x)}$${\ displaystyle g,}$${\ displaystyle f}$

• Una funzione è suriettiva se e solo se vale per tutti .${\ Displaystyle f \ due punti A \ to B}$${\ Displaystyle f \ sinistra (f ^ {- 1} (Y) \ destra) = Y}$${\ displaystyle Y \ subset B}$

• Se le funzioni e sono suriettive, questo vale anche per la composizione (concatenazione)${\ Displaystyle f \ due punti A \ to B}$${\ Displaystyle g \ due punti B \ to C}$${\ Displaystyle g \ circ f \ due punti A \ to C.}$

• Segue dalla suriettività di ciò che è suriettivo.${\ displaystyle g \ circ f}$${\ displaystyle g}$

• Una funzione è quindi esattamente su, quando un'inversa destra , ha quindi una funzione con (dove la mappatura identità di seguito). Questa affermazione è equivalente all'assioma della scelta nella teoria degli insiemi.${\ Displaystyle f \ due punti A \ to B}$${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle g \ due punti B \ to A}$${\ Displaystyle f \ circ g = \ operatorname {id} _ {B}}$${\ displaystyle \ operatorname {id} _ {B}}$${\ displaystyle B}$

• Una funzione è esattamente allora suriettiva se rechtskürzbar lo è, quindi se per qualsiasi funzione con già segue. (Questa proprietà motiva il termine epimorfismo utilizzato nella teoria delle categorie .)${\ Displaystyle f \ due punti A \ to B}$${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle g, h \ due punti B \ to C}$${\ Displaystyle g \ circ f = h \ circ f}$${\ displaystyle g = h}$

• Qualsiasi funzione può essere rappresentata come una concatenazione , con la funzione che è suriettiva e iniettiva.${\ Displaystyle f \ due punti A \ to B}$${\ displaystyle f = h \ circ g}$${\ Displaystyle C: = \ {f ^ {- 1} (y) \ mid y \ in \ operatorname {im} f \}}$${\ Displaystyle g \ due punti A \ to C, \; x \ mapsto f ^ {- 1} (f (x))}$${\ Displaystyle h \ due punti C \ to B, \; f ^ {- 1} (y) \ mapsto y}$

Cardinalità degli insiemi

Per un insieme finito , la cardinalità è semplicemente il numero di elementi di . Se ora esiste una funzione suriettiva tra insiemi finiti, allora al massimo possono esserci tanti elementi quanti , quindi è vero${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle | A |}$${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle f \ due punti A \ to B}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle | B | \ leq | A |.}$

Per quantità infinite , il confronto dimensionale degli spessori è definito con l'aiuto del termine iniezione , ma anche qui vale quanto segue: Se surjective, allora lo spessore di non è maggiore dello spessore di è scritto anche qui${\ Displaystyle f \ due punti A \ to B}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A,}$${\ displaystyle | B | \ leq | A |.}$

letteratura

• OA Ivanova: Surjection . In: Michiel Hazewinkel (a cura di): Encyclopedia of Mathematics . Springer-Verlag e EMS Press, Berlino 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (inglese, online ). 

link internet