Misura di probabilità

Una misura di probabilità , in breve misura W o sinonimo di distribuzione di probabilità o in breve distribuzione W o semplicemente distribuzione , è un costrutto fondamentale della stocastica . Anche il termine legge della probabilità si trova meno spesso . Le misure di probabilità vengono utilizzate per assegnare un numero compreso tra zero e uno alle quantità. Questo numero è quindi la probabilità che l' evento descritto dall'insiemeiscrizione. Un tipico esempio di ciò sarebbe il lancio di un dado equo: al set {2}, ovvero l'evento in cui viene lanciato il numero 2, viene assegnata la probabilità dalla distribuzione di probabilità . ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {6}}}$

Nell'ambito della teoria della misura , le misure di probabilità corrispondono a misure finite speciali caratterizzate dalla loro normalizzazione.

In fisica in particolare, alcune distribuzioni di probabilità vengono anche chiamate statistiche. Esempi di ciò sono le statistiche di Boltzmann e le statistiche di Bose-Einstein .

definizione

Essere dato

• un insieme , il cosiddetto spazio dei risultati ,${\ displaystyle \ Omega}$
• una σ-algebra su questo insieme, il sistema degli eventi .${\ displaystyle \ Sigma}$

Quindi viene chiamata una figura

${\ displaystyle P \ due punti \ Sigma \ a [0,1]}$

con le proprietà

• Normalizzazione: lo è${\ displaystyle P (\ Omega) = 1}$
• σ-additività : Per ogni sequenza numerabile di coppie disgiunte setdavera${\ displaystyle A_ {1}, A_ {2}, A_ {3}, \ dots}$${\ displaystyle \ Sigma}$

${\ displaystyle P \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {\ infty} A_ {i} \ right) = \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} P (A_ {i})}$

una misura di probabilità o una distribuzione di probabilità.

I tre requisiti di normalizzazione, σ-additività e valori nell'intervallo tra 0 e 1 sono anche chiamati assiomi di Kolmogorow .

Esempio elementare

Un esempio elementare di misura di probabilità è dato dal lancio di un dado equo. Lo spazio del risultato è dato da

${\ displaystyle \ Omega: = \ {1,2,3,4,5,6 \}}$

e contiene tutti i possibili risultati del lancio dei dadi. Il sistema degli eventi contiene tutti i sottoinsiemi dello spazio dei risultati a cui deve essere assegnata una probabilità. In questo caso si desidera assegnare una probabilità a ciascun sottoinsieme dello spazio dei risultati, quindi si sceglie l' insieme di potenza come sistema degli eventi , cioè l'insieme di tutti i sottoinsiemi di${\ displaystyle \ Omega}$

${\ displaystyle \ Sigma: = {\ mathcal {P}} (\ Omega)}$.

La misura di probabilità può ora essere definita come

${\ displaystyle P (\ {i \}): = {\ tfrac {1} {6}} \ quad}$per tutti ,${\ displaystyle i \ in \ {1, \ dots, 6 \}}$

perché si presume un giusto dado. Ogni numero è quindi altrettanto probabile. Se ora sei interessato alla domanda su quanto sia grande la probabilità di tirare un numero pari, segue dalla σ-additività

${\ displaystyle P (\ {2,4,6 \}) = P (\ {2 \}) + P (\ {4 \}) + P (\ {6 \}) = 3 \ cdot {\ tfrac { 1} {6}} = {\ tfrac {1} {2}}.}$

È importante qui che le misure di probabilità non prendano numeri, ma solo insiemi come argomenti. Pertanto, ortografie come, in senso stretto, non sono corrette e dovrebbero essere corrette . ${\ displaystyle P (2)}$${\ displaystyle P (\ {2 \})}$

Distribuzioni di probabilità e distribuzioni di variabili casuali

In letteratura, non sempre viene fatta una netta distinzione tra una distribuzione di probabilità - cioè una mappatura che è definita su un sistema impostato e soddisfa gli assiomi di Kolmogorov - e la distribuzione di una variabile casuale .

Le distribuzioni di variabili casuali sorgono quando si definisce una variabile casuale su uno spazio di probabilità al fine di estrarre informazioni rilevanti. Un esempio potrebbe essere l'estrazione di una lotteria: lo spazio delle probabilità modella la probabilità di estrarre una combinazione di numeri molto specifica . Tuttavia, solo le informazioni sul numero di numeri corretti sono interessanti. Questo viene estratto dalla variabile casuale. La distribuzione di queste variabili casuali assegna solo una nuova probabilità a questa nuova informazione sulla base delle probabilità originali nello spazio delle probabilità.

La misura di probabilità viene trasferita dalla variabile casuale dallo spazio di probabilità originale a un nuovo spazio di probabilità "artificiale" e induce una nuova misura di probabilità lì come misura dell'immagine sotto la variabile casuale. Nel senso della teoria della misura, una variabile casuale è una mappatura

${\ Displaystyle X \ colon (\ Omega, \ Sigma, P) \ to (\ mathbb {R}, {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R})), \ quad \ omega \ mapsto X (\ omega )}$

tra lo spazio di probabilità originale e i numeri reali, forniti con l' algebra di Borel . Come variabile casuale anche per definizione - met -Messbarkeit, quindi per qualsiasi importo misurabile si applica ${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R})}$${\ displaystyle B \ in {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R})}$

${\ displaystyle X ^ {- 1} (B) \ in \ Sigma,}$

nasce per tutti attraverso ${\ displaystyle B \ in {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R})}$

${\ displaystyle P_ {X} (B): = P (X ^ {- 1} (B)) \ equiv P (\ {\ omega \ in \ Omega \ mid X (\ omega) \ in B \})}$

naturalmente l'immagine misura l' under o, in breve, la distribuzione delle variabili casuali . ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$

Ogni distribuzione di una variabile casuale è una distribuzione di probabilità. Al contrario, ogni distribuzione di probabilità può essere vista come una distribuzione di una variabile casuale non specificata . L'esempio più semplice di una tale costruzione è una mappatura identica di un dato spazio di probabilità${\ displaystyle (\ Omega, \ Sigma, P)}$

${\ Displaystyle X \ colon \ Omega \ to \ Omega {\ text {, definito da}} X (\ omega) = \ omega}$

definire. In questo caso, la distribuzione delle variabili casuali corrisponde esattamente alla misura di probabilità${\ displaystyle P_ {X}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle P.}$

Poiché le misure di probabilità astratte e complicate possono essere interpretate come distribuzioni concrete di variabili casuali attraverso esperimenti casuali, risultano le usuali notazioni

${\ Displaystyle P (X \ leq k) \ equiv P (\ {\ omega \ in \ Omega \ mid X (\ omega) \ leq k \}) \ equiv P_ {X} ((- \ infty, k]) }$

per la funzione di distribuzione di . Questo ovviamente corrisponde alla distribuzione ristretta al sistema dei semiraggi - un produttore concreto e stabile dell'algebra boreliana . Il teorema di unicità della misura risulta direttamente dal fatto che la funzione di distribuzione di una variabile casuale determina sempre anche la distribuzione in modo univoco. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ sigma}$

Proprietà come misura

Le seguenti proprietà seguono dalla definizione.

• Lo è . Ciò deriva dalla σ-additività e dal fatto che l'insieme vuoto è disgiunto a se stesso.${\ displaystyle P (\ emptyset) = 0}$
• Subtraktivität: Per con valido${\ displaystyle A, B \ in \ Sigma}$${\ displaystyle B \ subseteq A}$

${\ displaystyle P (A \ setminus B) = P (A) -P (B)}$.

• Monotonia: una misura di probabilità è una mappatura monotona da a , vale a dire per si applica${\ displaystyle (\ Sigma, \ subset)}$${\ displaystyle ([0,1], \ leq)}$${\ displaystyle A, B \ in \ Sigma}$

${\ Displaystyle B \ subseteq A \ implica P (B) \ leq P (A)}$.

• Additività finita: dalla σ-additività segue direttamente che per gli insiemi disgiunti a coppie vale quanto segue:${\ displaystyle A_ {1}, \ dotsc, A_ {m} \ in \ Sigma}$

${\ Displaystyle P \ left (\ bigcup _ {n = 1} ^ {m} A_ {n} \ right) = \ sum _ {n = 1} ^ {m} P (A_ {n})}$

• σ-subadditività : per qualsiasi sequenzadi insiemi intrue${\ displaystyle (A_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle \ Sigma}$

${\ Displaystyle P \ left (\ bigcup _ {n = 1} ^ {\ infty} A_ {n} \ right) \ leq \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} P (A_ {n})}$.

• σ-continuità dal basso : èuna sequenza monotona contro l'insieme crescente in, quindi, allora è.${\ displaystyle (A_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle A_ {n} \ uparrow A}$${\ Displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} P (A_ {n}) = P (A)}$
• σ-continuità dall'alto : seuna sequenza monotona contro l' insieme decrescente in, allora, allora è.${\ displaystyle (A_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle A_ {n} \ downarrow A}$${\ Displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} P (A_ {n}) = P (A)}$
• Principio di inclusione ed esclusione : si applica

${\ Displaystyle P \ left (\ bigcup _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} \ right) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ left ((- 1) ^ {k + 1} \! \! \ Sum _ {I \ subseteq \ {1, \ dots, n \}, \ atop | I | = k} \! \! \! \! P \ left (\ bigcap _ {i \ in I} A_ {i} \ right) \ right)}$

ad esempio

${\ Displaystyle P \ left (\ bigcap _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} \ right) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ left ((- 1) ^ {k + 1} \! \! \ Sum _ {I \ subseteq \ {1, \ dots, n \}, \ atop | I | = k} \! \! \! \! P \ left (\ bigcup _ {i \ in I} A_ {i} \ right) \ right)}$.

Nel caso più semplice questo corrisponde a

${\ Displaystyle P (A \ cup B) + P (A \ cap B) = P (A) + P (B).}$

Costruzione di misure di probabilità

Procedura per misure di probabilità su numeri interi o reali

Funzioni di probabilità

Su un insieme di base finito o numerabile infinito , fornito con la potenza impostata come σ-algebra , quindi le misure di probabilità possono essere definite da funzioni di probabilità . Queste sono immagini ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ Sigma = {\ mathcal {P}} (M)}$

${\ Displaystyle f \ due punti M \ a [0,1] {\ text {, per il quale si applica:}} \ sum _ {i \ in M} f (i) = 1}$.

Il secondo requisito prevede che la misura di probabilità sia normalizzata. Questo viene quindi definito da

${\ displaystyle P (\ {i \}) = f (i) {\ text {e}} P (A) = \ sum _ {i \ in A} f (i) {\ text {per}} A \ in \ Sigma}$.

Ad esempio, nel caso di un dado equo, la funzione di probabilità sarebbe definita da

${\ Displaystyle f \ colon \ {1, \ dots, 6 \} \ to [0,1], \ quad f (i) = {\ tfrac {1} {6}} \ quad {\ text {for}} \; i = 1, \ dotsc, 6}$.

Un esempio di una funzione di probabilità su un insieme numerabile infinito è fornito dalla distribuzione geometrica , una delle sue varianti ha la funzione di probabilità

${\ displaystyle f (i) = (1-q) q ^ {i}}$

dove e . La normalizzazione segue qui per mezzo della serie geometrica . Da un punto di vista formale, è importante che le funzioni di probabilità non prendano insiemi come argomenti come misure di probabilità , ma elementi dell'insieme di base . Pertanto l'ortografia sarebbe sbagliata, è chiamata correttamente . ${\ displaystyle i = 0,1,2, \ dotsc}$${\ displaystyle q \ in (0,1)}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle f (\ {i \})}$${\ displaystyle f (i)}$

Dal punto di vista della teoria delle dimensioni , le funzioni di probabilità possono anche essere intese come densità di probabilità. Sono quindi le densità di probabilità rispetto alla misura di conteggio . Pertanto le funzioni di probabilità sono anche chiamate densità di conteggio. Nonostante questa comunanza, viene fatta una netta distinzione tra le funzioni di probabilità (su spazi di base discreti) e le densità di probabilità (su spazi di base continui).

Funzioni di densità di probabilità

Sui numeri reali , forniti con la σ-algebra di Borel , le misure di probabilità possono essere definite utilizzando funzioni di densità di probabilità . Si tratta di funzioni integrabili per le quali si applica quanto segue: ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle f}$

• Positività: ${\ displaystyle f (x) \ geq 0 \ quad {\ text {per tutti}} \ quad x \ in \ mathbb {R}}$
• Normalizzazione: ${\ Displaystyle \ int _ {\ mathbb {R}} f (x) \ mathrm {d} \ lambda (x) = 1}$

La misura di probabilità è poi per da ${\ displaystyle A \ in {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R})}$

${\ Displaystyle P (A): = \ int _ {A} f (x) \ mathrm {d} \ lambda (x)}$

Sono definiti.

L'integrale qui è un integrale di Lebesgue . In molti casi, tuttavia, è sufficiente un integrale di Riemann ; invece di . Un tipico esempio di misura di probabilità definita in questo modo è la distribuzione esponenziale . Ha la funzione di densità di probabilità ${\ displaystyle \ mathrm {d} x}$${\ displaystyle \ mathrm {d} \ lambda (x)}$

${\ displaystyle f _ {\ lambda} (x) = {\ begin {cases} \ displaystyle \ lambda {\ rm {e}} ^ {- \ lambda x} & x \ geq 0, \\ 0 & x <0. \ end { case}}}$

È quindi per esempio

${\ displaystyle P ((- 1,1]) = \ int _ {(- 1,1]} f _ {\ lambda} (x) \ mathrm {d} x = \ int _ {[0,1]} \ lambda {\ rm {e}} ^ {- \ lambda x} \ mathrm {d} x = 1- \ mathrm {e} ^ {- \ lambda}}$

per un parametro . Il concetto di funzioni di densità di probabilità può essere esteso anche a. Tuttavia, non tutte le misure di probabilità possono essere rappresentate da una densità di probabilità, ma solo quelle che sono assolutamente continue rispetto alla misura di Lebesgue . ${\ displaystyle \ lambda> 0}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

Funzioni di distribuzione

Sui numeri reali , forniti con la σ-algebra di Borel , si possono definire anche misure di probabilità con funzioni di distribuzione . Una funzione di distribuzione è una funzione ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R})}$

${\ Displaystyle F \ due punti \ mathbb {R} \ to [0,1]}$

con le proprietà

• ${\ displaystyle F}$sta crescendo monotonicamente .
• ${\ displaystyle F}$è continuo sul lato destro : vale per tutti${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle \ lim _ {\ nu \ downarrow x} F (\ nu) -F (x) = 0.}$
• ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to - \ infty} F (x) = 0 {\ text {e}} \ lim _ {x \ to \ infty} F (x) = 1}$.

Per ogni funzione di distribuzione, esiste una probabilità determinata in modo univoco con ${\ displaystyle P}$

${\ displaystyle P ((- \ infty, x]) = F (x)}$.

Al contrario, una funzione di distribuzione può essere assegnata a ciascuna misura di probabilità utilizzando l'identità di cui sopra. L'assegnazione della misura di probabilità e della funzione di distribuzione è quindi biiettiva secondo il teorema di corrispondenza . Le probabilità di un intervallo vengono quindi contenute

${\ displaystyle P ((a, b]) = F (b) -F (a)}$.

In particolare, anche ogni misura di probabilità sulle foglie o una funzione di distribuzione da assegnare. La distribuzione di Bernoulli sul set di base è definita da per un parametro reale . Considerato come misura di probabilità sui numeri reali, ha la funzione di distribuzione ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ {0.1 \}}$${\ displaystyle P (\ {0 \}) = 1-p, P (\ {1 \}) = p}$${\ displaystyle p \ in (0,1)}$

${\ displaystyle F (x) = {\ begin {cases} 0 & {\ text {if}} x <0 \\ 1-p & {\ text {if}} 0 \ leq x <1 \\ 1 & {\ text { if}} x \ geq 1 \ end {case}}}$.

Si possono definire anche funzioni di distribuzione per, si parla quindi di funzioni di distribuzione multivariata . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

Procedure generali

Distribuzioni

Mediante la distribuzione di una variabile casuale , una misura di probabilità può essere trasferita tramite una variabile casuale in un secondo spazio di misurazione e qui si genera nuovamente una distribuzione di probabilità trasformata in accordo con la variabile casuale. Questa procedura corrisponde alla costruzione di una misura di immagine nella teoria della misura e fornisce molte importanti distribuzioni come la distribuzione binomiale .

Normalizzazione

Ogni misura finita che non è la misura zero può essere convertita in una misura di probabilità mediante normalizzazione. Puoi anche trasformare una misura σ-finita in una misura di probabilità, ma non è univoca. Se lo spazio di base è suddiviso in insiemi di misure finite, come richiesto nella definizione della misura σ-finita, allora, ad esempio, restituisce ${\ displaystyle \ mu _ {\ sigma} \ not \ equiv 0}$${\ displaystyle A_ {n}}$

${\ displaystyle P (A): = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2 ^ {n}}} {\ frac {\ mu _ {\ sigma} (A_ { n} \ cap A)} {\ mu _ {\ sigma} (A_ {n})}}}$

cosa è richiesto.

Dimensioni del prodotto

Le dimensioni del prodotto sono un modo importante per definire misure di probabilità in spazi ampi . In tal modo si forma il prodotto cartesiano di due insiemi di base e si richiede che la misura di probabilità su questo insieme più grande (su certi insiemi) corrisponda esattamente al prodotto delle misure di probabilità sugli insiemi più piccoli. In particolare, le dimensioni infinite del prodotto sono importanti per l'esistenza dei processi stocastici .

Chiarezza delle costruzioni

Quando si costruiscono misure di probabilità, queste sono spesso definite solo dai loro valori su pochi insiemi particolarmente facili da usare. Un esempio di ciò è la costruzione che utilizza una funzione di distribuzione che specifica solo le probabilità degli intervalli . La σ-algebra di Borel, tuttavia, contiene insiemi molto più complessi di questi intervalli. Per garantire l'unicità delle definizioni, si deve dimostrare che non esiste una seconda misura di probabilità che assume i valori richiesti sugli intervalli, ma differisce dalla prima misura di probabilità su un altro insieme possibilmente molto complesso della σ-algebra di Borel. Ciò è ottenuto dal seguente teorema di unicità della misura dalla teoria della misura: ${\ displaystyle (- \ infty, a]}$

Se una misura di probabilità è sulla σ-algebra ed è un generatore medio stabile di questa σ-algebra , allora è già determinata in modo univoco dai suoi valori . Più precisamente: è un'altra misura di probabilità ed è ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle {\ mathcal {E}}}$ ${\ displaystyle \ sigma ({\ mathcal {E}}) = \ Sigma}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle {\ mathcal {E}}}$${\ displaystyle P ^ {*}}$

${\ displaystyle P | _ {\ mathcal {E}} = P ^ {*} | _ {\ mathcal {E}},}$

così è . I generatori tipici di σ-algebre sono ${\ displaystyle P = P ^ {*}}$

• per insiemi finiti o numerabili infiniti , fornito con l'insieme di potenza il sistema degli elementi di , cioè${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M}$

${\ displaystyle {\ mathcal {E}}: = \ {\ {e \} \, | \, e \ in M ​​\}}$,

• per la σ-algebra di Borel sul sistema degli intervalli${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {E}} = \ {I \, | \, I = (- \ infty, a] {\ text {per a}} a \ in \ mathbb {R} \}}$,

• per il prodotto σ-algebra il sistema degli insiemi di cilindri .

Questi generatori forniscono quindi l'unicità della costruzione di misure di probabilità utilizzando funzioni di probabilità, funzioni di distribuzione e misure di prodotto.

Tipi di distribuzioni di probabilità

Distribuzioni discrete

Le distribuzioni discrete si riferiscono a distribuzioni di probabilità su spazi di base finiti o numerabili infiniti . Questi spazi di base sono quasi sempre forniti con l' insieme di potere come un sistema di insiemi, le probabilità sono quindi per lo più definite usando funzioni di probabilità . Le distribuzioni discrete su numeri naturali o interi possono essere incorporate nello spazio di misurazione e quindi avere anche una funzione di distribuzione . Questo è caratterizzato dai suoi punti di salto. ${\ displaystyle (\ mathbb {R}, {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R}))}$

Distribuzioni continue

Le distribuzioni sui numeri reali, fornite con la σ-algebra di Borel, sono chiamate distribuzione continua se hanno funzioni di distribuzione continua . Le distribuzioni continue possono ancora essere suddivise in distribuzioni di probabilità assolutamente continue e continuamente singolari.

Distribuzioni di probabilità continue assolute

Le distribuzioni di probabilità assolutamente continue sono quelle distribuzioni di probabilità che hanno una funzione di densità di probabilità , cioè sono nella forma

${\ displaystyle P ((- \ infty, x]) = \ int _ {(- \ infty, x]} f_ {P} \, \ mathrm {d} \ lambda}$

display per una funzione integrabile . Questo è un integrale di Lebesgue , ma nella maggior parte dei casi può essere sostituito da un integrale di Riemann . ${\ displaystyle f_ {P}}$

Questa definizione può essere estesa di conseguenza anche alle distribuzioni su . Dal punto di vista della teoria della misura, secondo il teorema di Radon-Nikodým, le distribuzioni assolutamente continue sono proprio le misure assolutamente continue rispetto alla misura di Lebesgue . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

Distribuzioni di probabilità continuamente singolari

Le distribuzioni singolari continue sono quelle distribuzioni di probabilità che hanno una funzione di distribuzione continua ma nessuna funzione di densità di probabilità. Le distribuzioni di probabilità costantemente singolari sono rare nell'applicazione e di solito sono costruite in modo mirato. Un esempio di questo è l' esempio patologica della distribuzione di Cantor .

Forme miste e loro decomposizione

Oltre alle forme pure di distribuzioni di probabilità sopra menzionate, esistono anche forme miste. Questi si verificano, ad esempio, quando si formano combinazioni convesse di distribuzioni discrete e continue.

Al contrario, secondo il teorema di rappresentazione , ogni distribuzione di probabilità può essere scomposta in modo univoco nelle sue componenti assolutamente continue, continuamente singolari e discrete.

Distribuzioni univariate e multivariate

Le distribuzioni di probabilità che si estendono in diverse dimensioni spaziali sono chiamate distribuzioni multivariate . Al contrario, le distribuzioni unidimensionali sono chiamate distribuzioni di probabilità univariate . La dimensionalità qui si riferisce solo allo spazio di base, non ai parametri che descrivono la distribuzione di probabilità. La distribuzione normale (ordinaria) è una distribuzione univariata, anche se è determinata da due parametri di forma . ${\ displaystyle \ mu, \ sigma ^ {2}}$

Inoltre, ci sono anche distribuzioni di probabilità con varianti di matrice come la distribuzione di Wishart .

Caratterizzazione attraverso figure chiave

Diverse cifre chiave possono essere assegnate alle distribuzioni di probabilità. Ciascuno di questi tentativi di quantificare una proprietà di una distribuzione di probabilità e quindi consentire di formulare affermazioni compatte sulle peculiarità della distribuzione. Esempi di ciò sono:

Figure chiave basate sui momenti :

• Valore atteso , la cifra chiave per la posizione media di una distribuzione di probabilità
• Varianza e deviazione standard da essa calcolata , cifra chiave per il grado di "dispersione" della distribuzione
• Skew , misura dell'asimmetria della distribuzione
• Vault , codice per "indicare" la distribuzione

Inoltre c'è

• la mediana , che può essere calcolata utilizzando la funzione di distribuzione inversa generalizzata
• più in generale i quantili , ad esempio le terzine, i quartili, i decili ecc.

Viene fatta una distinzione generale tra misure di posizione e misure di dispersione . Le misure di posizione come il valore atteso indicano "dove" si trova la distribuzione di probabilità e quali sono i valori "tipici", mentre le misure di dispersione come la varianza indicano quanto la distribuzione si disperde attorno a questi valori tipici.

Importanti misure di probabilità

Ecco alcune delle importanti distribuzioni di probabilità. Ulteriori informazioni possono essere trovate nell'elenco delle distribuzioni di probabilità univariate , nonché nell'elenco delle distribuzioni di probabilità multivariate e di matrice variabile o tramite la barra di navigazione alla fine dell'articolo per qualsiasi distribuzione di probabilità.

Discreto

Una delle distribuzioni di probabilità elementari è la distribuzione di Bernoulli . Modella un lancio di moneta con una moneta possibilmente contrassegnata. Di conseguenza, ci sono due uscite: testa o croce, spesso codificate con 0 e 1 per semplicità. La distribuzione binomiale si basa su questo . Indica la probabilità di lanciare una moneta k volte con n lanci.

Un'altra importante distribuzione di probabilità è la distribuzione discreta uniforme . Corrisponde al lancio di un dado giusto di n area. Ogni area ha quindi la stessa probabilità. Il loro significato deriva dal fatto che un gran numero di ulteriori distribuzioni di probabilità possono essere generate dalla distribuzione uniforme discreta tramite il modello di urna come distribuzione di variabili casuali corrispondenti . In questo modo, ad esempio, si possono generare la distribuzione ipergeometrica , la distribuzione geometrica e la distribuzione binomiale negativa .

Costante

La distribuzione normale è eccezionale tra le distribuzioni continue . Questa posizione speciale è dovuta alla legge sul valore limite centrale . Afferma che in determinate circostanze una sovrapposizione di eventi casuali si avvicina sempre più alla distribuzione normale. La distribuzione normale nelle statistiche è quindi importante. La distribuzione chi quadrato e la distribuzione t di Student , utilizzate per la stima dei parametri nelle statistiche, derivano direttamente da essa .

Classi di distribuzione

Le classi di distribuzione sono un insieme di misure di probabilità caratterizzate da una proprietà comune, più o meno generalmente formulata. Una classe di distribuzione centrale in statistica è la famiglia esponenziale , caratterizzata da una funzione di densità generale. Importanti classi di distribuzione in stocastico sono, ad esempio, le distribuzioni infinitamente divisibili o le distribuzioni stabili alfa .

Convergenza delle misure di probabilità

La convergenza delle misure di probabilità è chiamata convergenza nella distribuzione o convergenza debole. La designazione come

• Convergenza in distribuzione che è la convergenza di distribuzioni di variabili casuali,
• convergenza debole che è un caso speciale di convergenza debole di misure dalla teoria della misura.

Per lo più la convergenza nella distribuzione è preferita come designazione, in quanto ciò consente un miglior confronto con i tipi di convergenza in stocastica ( convergenza in probabilità , convergenza nella media p-esima e convergenza quasi certa ), che sono tutti tipi di convergenza di variabili casuali e non di misure di probabilità.

Esistono molte caratterizzazioni equivalenti di debole convergenza / convergenza nella distribuzione. Questi sono enumerati nel teorema di Portmanteau .

Sui numeri reali

La convergenza in distribuzione è definita sui numeri reali tramite le funzioni di distribuzione :

• Una sequenza di misure di probabilità converge debolmente alla misura di probabilità se e solo se le funzioni di distribuzione convergono punto per punto alla funzione di distribuzione in ogni punto di continuità .${\ displaystyle P_ {1}, P_ {2}, \ dots}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle F_ {P_ {1}}, F_ {P_ {2}}, \ dots}$${\ displaystyle F_ {P}}$
• Una sequenza di variabili casuali è chiamata convergente nella distribuzione rispetto a se le funzioni di distribuzione convergono punto per punto a ciascun punto di continuità della funzione di distribuzione .${\ displaystyle X_ {1}, X_ {2}, \ dots}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle F_ {X_ {1}}, F_ {X_ {2}}, \ dots}$${\ displaystyle F_ {X}}$

Questa caratterizzazione di debole convergenza / convergenza nella distribuzione è una conseguenza del teorema di Helly-Bray , ma è spesso usata come definizione perché è più accessibile della definizione generale. La definizione di cui sopra corrisponde alla convergenza debole delle funzioni di distribuzione per il caso speciale delle misure di probabilità, dove corrisponde alla convergenza rispetto alla distanza di Lévy . Il teorema di Helly-Bray fornisce l'equivalenza della convergenza debole nelle funzioni di distribuzione e della convergenza / convergenza debole nella distribuzione . ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

Caso generale

Nel caso generale, la debole convergenza / convergenza nella distribuzione è caratterizzata da una famiglia che si separa . Se uno spazio metrico è una σ-algebra, scegli sempre la σ-algebra di Borel e sii l'insieme delle funzioni continue limitate . Quindi viene chiamato ${\ displaystyle (\ Omega, d)}$${\ displaystyle C_ {b} (\ Omega)}$

• una sequenza di misure di probabilità converge debolmente alla misura di probabilità se${\ displaystyle (P_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle P}$

${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ int _ {\ Omega} f \ mathrm {d} P_ {n} = \ int _ {\ Omega} f \ mathrm {d} P {\ text {for tutti}} f \ in C_ {b} (\ Omega),}$

• una sequenza di variabili casuali converge nella distribuzione a if${\ displaystyle (X_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle X}$

${\ Displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ operatorname {E} (f \ circ X_ {n}) = \ operatorname {E} (f \ circ X) {\ text {for all}} f \ in C_ {b} (\ Omega).}$

Di solito sono richieste ulteriori proprietà strutturali del set di base per garantire certe proprietà di convergenza.

Spazi di misure di probabilità

Le proprietà dell'insieme di misure di probabilità dipendono in gran parte dalle proprietà dello spazio delle basi e della σ-algebra . Quanto segue è una panoramica delle proprietà più importanti dell'insieme di misure di probabilità. Le proprietà più generali sono menzionate per prime e, se non diversamente specificato, seguono anche per tutte le sezioni seguenti. Si concorda la seguente notazione:

• ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$è la σ-algebra di Borel , se esiste almeno uno spazio topologico .${\ displaystyle \ Omega}$
• ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {f} (\ Omega, \ Sigma)}$è l'insieme delle dimensioni con segno finito nello spazio di misura .${\ displaystyle (\ Omega, \ Sigma)}$
• ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {f} ^ {+} (\ Omega, \ Sigma)}$è l'insieme di misure finite nello spazio di misura corrispondente.
• ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {\ leq 1} ^ {+} (\ Omega, \ Sigma)}$è l'insieme delle misure di sub-probabilità nello spazio di misurazione corrispondente.
• ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {1} ^ {+} (\ Omega, \ Sigma)}$ è l'insieme di misure di probabilità nello spazio di misurazione corrispondente.

Camere di base generali

Negli insiemi generali, le misure di probabilità sono un sottoinsieme dello spazio vettoriale reale delle misure con segno finito. Le inclusioni si applicano di conseguenza

${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {1} ^ {+} (\ Omega, \ Sigma) \ subset {\ mathcal {M}} _ {\ leq 1} ^ {+} (\ Omega, \ Sigma ) \ subset {\ mathcal {M}} _ {f} ^ {+} (\ Omega, \ Sigma) \ subset {\ mathcal {M}} _ {f} (\ Omega, \ Sigma)}$.

Lo spazio vettoriale delle misure con segno finito diventa uno spazio vettoriale normalizzato con la norma di variazione totale . Poiché le misure di probabilità sono solo un sottoinsieme e non un sottospazio delle misure con segno, non sono esse stesse uno spazio normalizzato. Invece saranno con la distanza di variazione totale${\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ {TV}}$

${\ displaystyle d_ {TV} (P_ {1}, P_ {2}): = \ | P_ {1} -P_ {2} \ | _ {TV}}$

in uno spazio metrico . Se una classe di distribuzione dominata , cioè tutte le misure in questo insieme hanno una funzione di densità di probabilità rispetto ad una singola misura σ-finita , allora la convergenza rispetto alla distanza di variazione totale è equivalente alla convergenza rispetto alla distanza di Hellinger . ${\ displaystyle {\ mathcal {D}} \ subset {\ mathcal {M}} _ {1} ^ {+} (\ Omega, \ Sigma)}$

Spazi metrici

Se si tratta di uno spazio metrico, quindi la convergenza debole può essere definito. Denotando la topologia prodotta dalla convergenza debole , e la corrispondente topologia della traccia rispetto alle misure di probabilità , è uno spazio topologico , che è anche uno spazio di Hausdorff . Inoltre, i limiti di sequenze debolmente convergenti di misure di probabilità sono sempre esse stesse misure di probabilità (aggiungere a questo nella definizione). La convergenza rispetto alla distanza di variazione totale implica sempre la convergenza debole, ma generalmente non vale il contrario. Pertanto, la topologia generata dalla distanza di variazione totale è più forte di . ${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {f} ^ {+} (\ Omega, {\ mathcal {B}})}$${\ displaystyle \ tau _ {f}}$${\ displaystyle \ tau _ {1}}$${\ displaystyle ({\ mathcal {M}} _ {1} ^ {+} (\ Omega, {\ mathcal {B}}), \ tau _ {1})}$${\ displaystyle f \ equiv 1}$${\ displaystyle \ tau _ {TV}}$${\ displaystyle \ tau _ {1}}$

Inoltre, può ancora essere la metrica di Prokhorov da definire. Si trasforma in uno spazio metrico. Inoltre, la convergenza sulla metrica di Prokhorov negli spazi metrici generali implica la convergenza debole. La topologia che crea è quindi più forte di . ${\ displaystyle d_ {P}}$${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {1} ^ {+} (\ Omega, {\ mathcal {B}})}$${\ displaystyle ({\ mathcal {M}} _ {1} ^ {+} (\ Omega, {\ mathcal {B}}), d_ {P})}$${\ displaystyle \ tau _ {1}}$

Spazi metrici separabili

Se c'è uno spazio metrico separabile , allora c'è anche uno spazio metrico separabile (infatti, si applica anche il contrario). Poiché negli spazi metrici la separabilità viene trasferita a quantità parziali, è anche separabile. ${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle ({\ mathcal {M}} _ {f} ^ {+} (\ Omega, {\ mathcal {B}}), d_ {P})}$${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {1} ^ {+} (\ Omega, {\ mathcal {B}})}$

Inoltre, su spazi metrici separabili, la convergenza debole e la convergenza rispetto alla metrica di Prokhorov sono equivalenti. La metrica di Prokhorov quindi metrizza . ${\ displaystyle \ tau _ {1}}$

Stanze polacche

Se c'è un'area polacca , allora c'è anche un'area polacca. Poiché è chiusa a chiave , c'è anche una stanza polacca. ${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle ({\ mathcal {M}} _ {f} ^ {+} (\ Omega, {\ mathcal {B}}), d_ {P})}$${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {1} ^ {+} (\ Omega, {\ mathcal {B}})}$${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {f} ^ {+} (\ Omega, {\ mathcal {B}})}$${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {1} ^ {+} (\ Omega, {\ mathcal {B}})}$

letteratura

• Ulrich Krengel : Introduzione alla teoria della probabilità e alla statistica . Per studi, esercitazioni professionali e insegnamento. 8a edizione. Vieweg, Wiesbaden 2005, ISBN 3-8348-0063-5 , doi : 10.1007 / 978-3-663-09885-0 . 
• Hans-Otto Georgii: Stocastico . Introduzione alla teoria della probabilità e alla statistica. 4a edizione. Walter de Gruyter, Berlino 2009, ISBN 978-3-11-021526-7 , doi : 10.1515 / 9783110215274 . 
• David Meintrup, Stefan Schäffler: Stocastico . Teoria e applicazioni. Springer-Verlag, Berlino Heidelberg New York 2005, ISBN 978-3-540-21676-6 , doi : 10.1007 / b137972 . 

link internet

• VV Sazonov: misura di probabilità . In: Michiel Hazewinkel (a cura di): Encyclopaedia of Mathematics . Springer-Verlag , Berlino 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (inglese, in linea ). 
• Eric W. Weisstein : Misura di probabilità . In: MathWorld (inglese).
• Rappresentazioni grafiche interattive di diverse funzioni di probabilità o densità (Università di Konstanz)
• Catalogo delle distribuzioni di probabilità nella GNU Scientific Library .
• Calcolo numerico e rappresentazione di densità e funzioni di distribuzione di alcune importanti distribuzioni di probabilità
• Ulteriori distribuzioni dal Wiki dell'Università di Francoforte ( Memento del 30 maggio 2009 in Internet Archive )

Prove individuali

1. ^ Georgii: Stocastico. 2009, p. 13.