intonazione

La pendenza di una funzione lineare corrisponde al quoziente ${\ displaystyle {\ tfrac {\ Delta y} {\ Delta x}}}$

In matematica , specialmente in analisi , la pendenza (nota anche come pendenza ) è una misura della pendenza di una linea retta o di una curva .

Il compito di determinare un gradiente si pone non solo nel caso di questioni geometriche , ma anche, ad esempio, in fisica , nella costruzione di strade o in economia . Ad esempio, la pendenza in un diagramma tempo-distanza corrisponde la velocità o la pendenza in un diagramma tempo-carica corrisponde l' intensità di corrente .

Pendenza di una linea retta

Definizione e calcolo

Pendenza di una linea retta

La pendenza di una linea retta è spesso indicata dalla lettera . Se si usano le coordinate cartesiane , la retta definita da due punti e ha la pendenza ${\ stile di visualizzazione m}$${\ stile di visualizzazione (x_ {1} | y_ {1})}$${\ stile di visualizzazione (x_ {2} | y_ {2})}$

${\ displaystyle m = {\ frac {\ Delta y} {\ Delta x}} = {\ frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}}.}$

${\ displaystyle \ Delta x}$(leggi: Delta x) significa la differenza tra i valori x, corrispondentemente la differenza tra i valori y assegnati. ${\ displaystyle \ Delta y}$

Ad esempio, la pendenza attraverso i punti e i risultati: ${\ stile di visualizzazione (1 | 2)}$${\ stile di visualizzazione (3 | 7)}$

${\ displaystyle m = {\ frac {7-2} {3-1}} = {\ frac {5} {2}} = 2 {,} 5}$

Non importa da quali punti della retta vengono utilizzate le coordinate nella formula. Ad esempio , se prendi e , ottieni: ${\ stile di visualizzazione (-1 | -3)}$${\ stile di visualizzazione (1 | 2)}$

${\ displaystyle m = {\ frac {2 - (- 3)} {1 - (- 1)}} = {\ frac {5} {2}} = 2 {,} 5}$

Se la retta sale (nella direzione x positiva, cioè vista da sinistra a destra), la sua pendenza è positiva. La pendenza è negativa per una retta discendente. Pendenza 0 significa che la retta scorre orizzontalmente, cioè parallela all'asse x.

Se la retta ha la pendenza e interseca l'asse y nel punto , allora ha l' equazione${\ stile di visualizzazione m}$${\ stile di visualizzazione (0 | c)}$ ${\ stile di visualizzazione y = mx + c}$

Nota: le rette parallele all'asse y non sono grafici di funzioni e quindi non hanno un valore di pendenza . Puoi attribuire loro la pendenza "infinita" (∞).

Percentuale - v. un. nel traffico

La strada più ripida del mondo con circa il 35% (19,3°) è Baldwin Street in Nuova Zelanda.

Gradiente percentuale su un cartello stradale (segno inferiore) a St Mawes , Cornwall

Anche la pendenza di una linea retta ha un ruolo nel traffico stradale . Il segnale stradale per la pendenza in salita o in discesa di una strada si basa sullo stesso termine per la pendenza, ma di solito è espresso in percentuale. Una specifica del 12% di pendenza significa, ad esempio, che per ogni 100 m in direzione orizzontale l'altezza aumenta di 12 m. Secondo la definizione data sopra, bisogna dividere 12 m per 100 m, il che porta al risultato 0,12 (in notazione percentuale 12%).

La strada tedesca più ripida: secondo l'azienda, Deesbach, in Turingia, ha la "strada più ripida della Germania" con una pendenza del 25,30% e la seconda "strada locale più ripida" con una pendenza del 22,65%. Sulla Oberweißbacher Straße a Deesbach c'è una salita annuale in bicicletta pieghevole sulla strada più ripida. Tuttavia, una stazione radio dell'Assia ha scoperto nel 2017 che esiste una strada a Ranstadt-Dauernheim in Assia con una pendenza del 29%, l'Hasenpfad. La strada più ripida della Germania non è più a Deesbach.

A Berchtesgaden si trova la strada federale tedesca più ripida, la B 319 fino a Obersalzberg, con il 26%.

La strada più ripida del mondo è Baldwin Street in Nuova Zelanda. La pendenza massima della strada lunga quasi 350 metri è 1: 2,86 (19,3 ° o circa 35%).

Rapporto - z. B. sugli argini

Un rapporto come 1: 2.67 è un altro modo per definire pendenze o pendenze. Fornisce, oltre a una percentuale, il dislivello per sezione orizzontale : 1 m di altezza su 2,67 m di distanza = 1/2,67 ≈ 0,37453 ≈ 37,45% (= 37,45 m di altezza su 100 m di distanza). Anche le banche lo dicono. Il rapporto spesso utilizzato di rilevati artificiali di 1: 1,5 (a seconda del materiale, ecc.) Si traduce in un dislivello di 1 metro su una distanza orizzontale di 1,5 metri. Ciò significa una pendenza del 66,7% e un angolo di pendenza di arctan (1/1,5) = 33,7 °.

Angolo di inclinazione o inclinazione

Dal gradiente di una retta, è possibile calcolare il gradiente o l'angolo di inclinazione associato della retta con l'aiuto della funzione arcotangente rispetto all'asse positivo : ${\ stile di visualizzazione m}$ ${\ displaystyle \ alfa}$${\ stile di visualizzazione x}$

Un collegamento dalla trigonometria dice che in un triangolo rettangolo la tangente di uno dei due angoli acuti è uguale al quoziente del rispettivo cateto opposto e adiacente, il che rende chiaro che l'inclinazione è anche la tangente dell'angolo di inclinazione ( in gradi) rispetto a quello positivo -Asse è: ${\ stile di visualizzazione x}$

${\ displaystyle m = \ tan (\ alfa).}$

Quando si specifica in percentuale (%), va notato che il gradiente e l'angolo del gradiente non sono proporzionali tra loro, quindi non è possibile convertire il gradiente e l' angolo del gradiente l' uno nell'altro utilizzando una semplice regola del tre . Ad esempio, pendenza 1 (= 100%) corrisponde a un angolo di inclinazione di 45 °, pendenza 2 (= 200%), invece, corrisponde solo a un angolo di circa 63,4 ° e per un angolo di inclinazione di 90 ° , la pendenza dovrebbe essere infinita per crescere.

D'altra parte, esiste una proporzionalità approssimativa del passo e dell'angolo di inclinazione solo per piccoli angoli di inclinazione fino a circa 5 ° - un passo di ± 0,01 o ± 1% corrisponde a un angolo di inclinazione di circa ± 0,57 ° e viceversa , un angolo di inclinazione di ± 1 ° una pendenza di circa ± 0,0175 o 1,75%. Matematicamente, questo può essere spiegato dal fatto che la derivata della tangente in 0 è esattamente 1, cioè h. per valori prossimi a 0 vale . ${\ stile di visualizzazione x}$${\ displaystyle \ tan (x) \ circa x}$

Per angoli di inclinazione maggiori, invece, o se si vuole determinarne esattamente la grandezza, è richiesta la funzione inversa della tangente , cioè la funzione arcotangente :

${\ displaystyle \ alpha = \ arctan (m).}$

Nell'esempio sopra si calcola:

${\ displaystyle \ alpha = \ arctan (0 {,} 4) \ circa 21 {,} 8 ^ {\ circ}.}$

Nel caso di pendenze negative, va notato che - a causa della simmetria puntiforme della funzione arcotangente - anche gli angoli di inclinazione diventano negativi. ${\ displaystyle \ alfa}$

Angolo di taglio

Il termine pendenza fornisce anche un metodo conveniente per determinare l' angolo di intersezione di due rette con pendenze date e : ${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle m_ {1}}$${\ displaystyle m_ {2}}$

${\ displaystyle \ tan \ varepsilon = \ left | {\ frac {m_ {2} -m_ {1}} {1 + m_ {1} \ cdot m_ {2}}} \ right |.}$

${\ displaystyle \ varepsilon = \ arctan \ left | {\ frac {m_ {2} -m_ {1}} {1 + m_ {1} \ cdot m_ {2}}} \ right |.}$

Due rette sono parallele ( = 0°) se e solo se le loro pendenze coincidono. Sono perpendicolari tra loro ( = 90 °) se e solo se le loro pendenze soddisfano la condizione di ortogonalità · = −1. ${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle m_ {1}}$${\ displaystyle m_ {2}}$

Passo dei fili

Nel caso di filettature metriche , il passo caratterizza il passo , cioè la distanza tra due passi di filettatura lungo l'asse della filettatura, in altre parole il percorso assiale percorso da un giro della filettatura.

Nel caso di filettature imperiali, invece, il valore specificato è il numero di giri della filettatura sulla distanza di un pollice. L' abbreviazione TPI ("threads per inch") viene spesso utilizzata come pseudo unità .

Gradienti nelle acque, nei processi e nelle correnti indotti dal potenziale

In particolare nelle centrali idroelettriche , la differenza di livello dell'acqua locale tra l'acqua superiore e quella inferiore è indicata come pendenza (o anche altezza di lavoro). Questo vale per mulini, centrali elettriche ad acqua fluente, ma anche per costruzioni con gallerie, chiuse d'acqua e tubi in pressione. La diminuzione del livello dell'acqua tra 2 punti distanti determinati lungo un fiume viene anche definita gradiente.

Nei processi di potenza termica , ad esempio su motori termici o unità frigorifere, si parla di gradienti di pressione e temperatura quando vi sono discrete differenze tra corrispondenti grandezze misurate tra 2 zone che portano a flussi autonomi di fluidi (gas, liquido) o energia termica .

Possono esistere gradienti di pressione statica anche tra diversi punti di alimentazione dei sistemi di aria compressa o acqua di rubinetto , nonché nei sistemi di ventilazione (importante per l'igiene, camere bianche, odore sgradevole). (Una caduta di pressione si verifica dinamicamente lungo un percorso di flusso.)

I processi chimico-fisici sono talvolta guidati da un gradiente di concentrazione del materiale spazialmente esistente. L'osmosi , la diffusione , la cromatografia , la cristallizzazione da soluzione, l'evaporazione sono tutte menzionate qui.

In senso figurato, in modo simile in economia e sociologia, differenze nei livelli salariali , i livelli di prezzo o di istruzione , per esempio a livello regionale tra città e campagna, socialmente tra uomini e donne sono descritti come i differenziali retributivi, le lacune dei prezzi, le lacune educative.

In tutti questi casi, contrariamente al termine usuale ``pendenza'' (come pendenza negativa), il significato non è una pendenza nel senso di dislivello per distanza (lunghezza) e quindi l'unità di misura 1, ma un dislivello (misurato nell'unità di misura). Tutti i processi di flusso guidati da questo hanno in comune (di per sé) l'esecuzione solo in una direzione: in discesa. (Vedi differenza potenziale .)

Generalizzazione: pendenza di una curva

Uno dei problemi fondamentali del calcolo è trovare la pendenza di una curva in un dato punto della curva. La formula discussa sopra non può più essere utilizzata poiché viene assegnato un solo punto. Se scegli arbitrariamente il secondo punto, non otterrai un risultato chiaro o, se entrambi i punti vengono scelti in modo identico, il risultato non è definito perché diviso per 0.

La pendenza del grafico di una funzione in un punto del grafico è quindi definita come la pendenza della curva tangente in questo punto. Il calcolo differenziale fornisce il concetto di derivazione come ausilio per poter calcolare tali valori di pendenza.

Esempio: Per il grafico della funzione si devono calcolare la pendenza nel punto della curva e il relativo angolo di inclinazione. ${\ displaystyle f: \; x \ mapsto 2x ^ {2} - {\ frac {1} {2}} x ^ {3}}$${\ stile di visualizzazione (2 | 4)}$

Innanzitutto, si trova l'equazione della funzione derivata : ${\ stile di visualizzazione f '}$

${\ displaystyle f '(x) = 2 \ cdot 2x ^ {2-1} - {\ frac {1} {2}} \ cdot 3x ^ {3-1} = 4x - {\ frac {3} {2 }} x ^ {2}}$

Ora viene inserita la coordinata x del punto dato:

${\ displaystyle f '(2) = 4 \ cdot 2 - {\ frac {3} {2}} \ cdot 2 ^ {2} = 8 - {\ frac {3} {2}} \ cdot 4 = 8- 6 = 2}$

L'angolo di inclinazione risulta dal valore della pendenza:

${\ displaystyle \ tan \ alpha = 2}$

${\ displaystyle \ alpha = \ arctan 2 \ circa 63 {,} 4 ^ {\ circ}}$

Guarda anche

• Salita , pendenza

link internet

Wikibooks:: Matematica per la scuola${\ displaystyle {\ begin {smallmatrix} {\ mathbf {MATH} \ mu \ alpha T \ mathbb {R} ix} \ end {smallmatrix}}}$

Wikizionario: pendenza  - spiegazione dei significati, origine delle parole, sinonimi, traduzioni

• Calcolatore di inclinazione

Evidenze individuali

1. ↑ Steven Morris: Welsh street perde il titolo più ripido del mondo dopo l'appello del rivale della Nuova Zelanda. theguardian.com, 8 aprile 2020; accesso il 22 maggio 2020 (inglese).