Il successo più significativo della sua carriera è stato vincere lo slalom gigante alle Olimpiadi invernali del 1984 a Sarajevo il 14 febbraio . Nel 1985 è decimo nella stessa disciplina ai Mondiali di Bormio . Oltre alla sua vittoria olimpica, ha vinto solo un'altra gara di Coppa del Mondo, vale a dire uno slalom gigante a Les Diablerets il 12 dicembre 1983 . Ha vinto anche uno slalom parallelo a Bormio il 29 novembre 1982 e uno slalom gigante il 24 novembre 1983; entrambe le gare contano solo per la classifica delle nazioni. Ha ottenuto il suo miglior risultato in slalom nel gennaio 1984 con il quinto posto a Parpan .
Julen ha concluso la sua carriera nel 1987 all'età di 26 anni e da allora gestisce un hotel nella sua città natale di Zermatt. È sposato, ha tre figli e lavora come venditore di articoli sportivi dal 1979. Suo padre Martin Julen sen. era anche uno sciatore e vinse lo slalom del Lauberhorn a Wengen nel 1955 .