Heinrich August Rothe

Heinrich August Rothe (nato il 3 settembre 1773 a Dresda , † 1842 a Erlangen ) è stato un matematico tedesco che si è occupato di combinatoria . Fu allievo di Carl Friedrich Hindenburg e insegnò come professore nelle università di Lipsia ed Erlangen . L' identità Rothe-Hagen e il diagramma di Rothe prendono il nome da lui.

Vita

Rothe nacque il 3 settembre 1773 a Dresda e dal 1785 frequentò la Kreuzschule . Si iscrisse a giurisprudenza all'Università di Lipsia nel 1789 , ma presto passò alla matematica. Nel 1792 ottenne il master sotto la direzione di Carl Friedrich Hindenburg . Fu nominato docente nel 1793 e professore associato nel 1796. Nel 1800 fu eletto membro corrispondente dell'Accademia delle scienze di Göttingen . Nel 1804 andò all'Università di Erlangen come professore ordinario , dove assunse la cattedra da Karl Christian von Langsdorf . Nel 1818 fu ammesso all'Accademia tedesca delle scienze Leopoldina . Si ritirò nel 1823 all'età di 50 anni e morì nel 1842. La sua cattedra fu rilevata da Johann Wilhelm Pfaff , il fratello minore di Johann Friedrich Pfaff .

ricerca

Nella sua dissertazione del 1793 sviluppò l' identità di Rothe-Hagen , una formula di somma per coefficienti binomiali , che prese il nome da lui e da Johann Georg Hagen . L'opera contiene anche una formula per calcolare la serie di Taylor le inverse di una funzione della serie di Taylor della funzione stessa, che è legato al teorema di inversione di Lagrange .

Diagramma di Rothe della
permutazione (2,4,1,3,5)

	${\ stile di visualizzazione 1}$	${\ stile di visualizzazione 2}$	${\ stile di visualizzazione 3}$	${\ stile di visualizzazione 4}$	${\ stile di visualizzazione 5}$
${\ stile di visualizzazione 1}$	${\ displaystyle \ volte}$	${\ displaystyle \ proiettile}$
${\ stile di visualizzazione 2}$	${\ displaystyle \ volte}$		${\ displaystyle \ volte}$	${\ displaystyle \ proiettile}$
${\ stile di visualizzazione 3}$	${\ displaystyle \ proiettile}$
${\ stile di visualizzazione 4}$			${\ displaystyle \ proiettile}$
${\ stile di visualizzazione 5}$					${\ displaystyle \ proiettile}$

Nel suo lavoro sulle permutazioni del 1800, Rothe definì per la prima volta l' inverso di una permutazione . Ha anche sviluppato una tecnica per visualizzare le permutazioni ora nota come diagramma di Rothe . Un diagramma di Rothe è uno schema quadrato che ha un punto in una cella se la permutazione mappa l'elemento sull'elemento e una croce in ogni cella , per la quale si trova un punto successivo nella stessa riga e un altro punto successivo nella stessa colonna. Le croci poi segnano le carenze nella permutazione. Poiché il diagramma di Rothe della permutazione inversa è il diagramma trasposto della posizione di partenza, è stato in grado di mostrare che il numero di carenze non cambia a causa dell'inversione. Ciò gli ha permesso di dimostrare ulteriormente che il determinante di una matrice trasposta è lo stesso di quello della matrice iniziale. Se il determinante è sviluppato in un polinomio , ogni termine corrisponde a una permutazione, il segno del termine corrispondente al segno della permutazione, che a sua volta può essere determinato tramite il numero di errore. Poiché ogni termine del determinante della matrice trasposta corrisponde a un termine della matrice di output con la corrispondente permutazione inversa e il numero mancante non cambia, i due determinanti devono essere uguali.${\ stile di visualizzazione (i, j)}$${\ stile di visualizzazione i}$${\ stile di visualizzazione j}$${\ stile di visualizzazione (i, j)}$

In questo lavoro Rothe ha considerato per la prima volta anche le permutazioni autoinverse , cioè permutazioni che sono uguali alle loro inverse o, equivalentemente, hanno un diagramma di Rothe simmetrico. Ha trovato la ricorrenza per il numero di queste permutazioni

${\ stile di visualizzazione T (n) = T (n-1) + (n-1) T (n-2)}$,

la loro soluzione è il risultato

${\ displaystyle 1,2,4,10,26,76,232,764,2620,9496, \ ldots}$    (Seguire A000085 in OEIS )

è. Questa sequenza conta anche il numero di possibili tableau di Young e il numero di abbinamenti in un grafico completo . Nel 1811 Rothe continuò a formulare la formula q- inomiale, una generalizzazione del teorema binomiale .

Pubblicazioni selezionate

• Formulas De Serierum Reversione Demonstratio Universalis Signis Localibus Combinatorio-Analyticorum Vicariis Exhibita: Dissertatio Academica , Lipsia 1793.
• Delle permutazioni, in relazione ai luoghi dei loro elementi. Applicazione dei teoremi derivati ​​al problema di eliminazione . In Carl Hindenburg (a cura di): Raccolta di trattati analitici combinatori. Bey G. Fleischer dem jungern, 1800, pp. 263-305.
• Manuale di matematica pura / manuale sistematico di aritmetica. due volumi, Barth, Lipsia 1804 e 1811.
• Teoria degli integrali combinatori. Riegel e Wießner, Norimberga 1820.

Evidenze individuali

1. ↑ Bernd Bekemeier: Martin Ohm, 1792–1872: Matematica universitaria e scolastica nella nuova riforma dell'educazione umanistica (=  studi sulla storia scientifica, sociale ed educativa della matematica . Volume 4 ). Vandenhoeck & Ruprecht, 1987, ISBN 3-525-40311-9 , pp. 83 . 
2. ↑ Hans Niels Jahnke: Matematica ed educazione nella riforma humboldtiana (=  studi sulla storia scientifica, sociale ed educativa della matematica . Volume 8 ). Vandenhoeck & Ruprecht, 1990, ISBN 3-525-40315-1 , pp. 175 . 
3. ↑ Holger Krahnke: I membri dell'Accademia delle scienze di Göttingen 1751-2001 (= Trattati dell'Accademia delle scienze di Göttingen, Classe filologico-storica. Volume 3, Vol. 246 = Trattati dell'Accademia delle scienze di Göttingen, Matematica- Classe fisica Episodio 3, vol. 50). Vandenhoeck & Ruprecht, Gottinga 2001, ISBN 3-525-82516-1 , pagina 206.
4. ^ Karl Immanuel Gerhardt: Storia della matematica in Germania (=  Storia delle scienze in Germania: Tempi moderni . Volume 17 ). R. Oldenbourg, 1877, p. 204 . 
5. ↑ David E. Rowe: Alla ricerca dei fantasmi di Steiner: elementi immaginari nella geometria del XIX secolo . In: Dominique Flament (a cura di): Le Nombre: une Hydre à n visages, Entre nombres complexes et vecteurs . Fondation Maison des Sciences de l'Homme , 1997, p. 193-208 . 
6. ^ Moritz Cantor:  Rothe, Heinrich August . In: Allgemeine Deutsche Biographie (ADB). Volume 29, Duncker & Humblot, Lipsia 1889, pagina 349 f.
7. ^ HW Gould: Alcune generalizzazioni della convoluzione di Vandermonde . In: Mensile di matematica americana . nastro 63 , 1956, pp. 84-91 . 
8. ↑ Ronald Calinger: Vita Mathematica: ricerca storica e integrazione con l'insegnamento (=  note della Mathematical Association of America . Band 40 ). Cambridge University Press, 1996, ISBN 0-88385-097-4 , pp. 146-147 . 
9. ^ Donald E. Knuth: The Art of Computer Programming , Volume 3: Ordinamento e ricerca . Addison-Wesley, Lettura, Messa. 1973, pag. 14-15 . 
10. ^ Donald E. Knuth: The Art of Computer Programming , Volume 3: Ordinamento e ricerca . Addison-Wesley, Lettura, Messa. 1973, pag. 48, 56 . 
11. ^ DM Bressoud: Alcune identità per terminare la serie q . In: Atti matematici della Cambridge Philosophical Society . nastro 89 , n. 2 , 1981, pag. 211-223 . 
12. ↑ HB Benaoum: h- analogo della formula binomiale di Newton . In: Journal of Physics A: Matematica e Generale . nastro 31 , n. 46 , pag. L751-L754 .