Principio di indeterminazione di Heisenberg

Werner Heisenberg e l'equazione della relazione di incertezza su un francobollo tedesco

Relazione di commutazione canonica per variabili di posizione e quantità di moto di una particella, 1927. Relazione di indeterminazione di Heisenberg. pq - qp = h / 2π i. Articolo di Werner Heisenberg, 1927.

Il principio di indeterminazione di Heisenberg o relazione di indeterminazione (raramente anche il principio di indeterminazione ) è l'affermazione della fisica quantistica secondo cui due proprietà complementari di una particella non sono le stesse né stimate. L'esempio più noto di una coppia di tali proprietà sono la posizione e lo slancio .

La relazione di incertezza non è il risultato di inadeguatezze tecnicamente correggibili di uno strumento di misura corrispondente, ma di natura principale. È stato formulato nel 1927 da Werner Heisenberg nel contesto della meccanica quantistica . Il principio di indeterminazione di Heisenberg può essere visto come un'espressione del carattere ondulatorio della materia . È considerato la base dell'interpretazione di Copenhagen della meccanica quantistica.

Meccanica quantistica e fisica classica

La meccanica quantistica è una delle teorie fondamentali per descrivere il nostro mondo fisico. La struttura concettuale di questa teoria differisce profondamente da quella della fisica classica .

Le affermazioni della meccanica quantistica sul nostro mondo sono dichiarazioni sui risultati delle misurazioni . Contrariamente alla fisica classica, in ogni caso possono essere fatte solo dichiarazioni di probabilità , quindi si può prevedere la distribuzione del valore solo quando si misura su un insieme di sistemi simili. Il principio di indeterminazione di Heisenberg risulta dal fatto che un sistema fisico nella meccanica quantistica è descritto con l'aiuto di una funzione d'onda . Mentre nella meccanica classica il luogo o la quantità di moto sono quantità semplici che in linea di principio possono essere misurate esattamente, le loro distribuzioni nella meccanica quantistica risultano dal quadrato della grandezza della funzione d'onda o dalla sua trasformata di Fourier , ad es. Cioè, non possono essere determinati indipendentemente l'uno dall'altro. Poiché le distribuzioni di posizione e quantità di moto dipendono entrambe dalla funzione d'onda del sistema, anche le deviazioni standard delle misurazioni dipendono l'una dall'altra. Più precisamente si vuole determinare la posizione di una particella nella solita descrizione della meccanica quantistica, maggiore è l'imprecisione della quantità di moto - e viceversa.

La seguente analogia illustra l'incertezza: supponiamo di avere un segnale variabile nel tempo, ad es. B. un'onda sonora e vogliamo misurare la frequenza esatta di questo segnale in un determinato momento. Questo è impossibile, perché per determinare la frequenza più o meno esattamente, dobbiamo osservare il segnale per un periodo di tempo sufficientemente lungo (vedi relazione di incertezza di Küpfmüller ), e di conseguenza perdiamo la precisione del tempo. In altre parole, un tono non può essere presente entro un periodo di tempo arbitrariamente breve, come un breve urlo, e allo stesso tempo avere una frequenza esatta, come quella di un tono puro ininterrotto. La durata e la frequenza dell'onda devono essere considerate analoghe alla posizione e alla quantità di moto di una particella.

Testo originale

La prima formulazione di una relazione di incertezza nella meccanica quantistica riguardava la conoscenza simultanea della posizione e della quantità di moto di una particella. Nel 1927 Heisenberg pubblicò il suo lavoro sul contenuto descrittivo della cinematica e della meccanica teorica quantistica e sostenne che la determinazione microscopica della posizione di  una particella in generale deve portare a un'influenza (disturbo) della quantità di moto  della particella. Se la posizione di un elettrone deve essere determinata mediante osservazione ottica (nel caso più semplice: vedere ), la particella può essere illuminata in modo che almeno uno dei quanti di luce incidente venga diffuso nello strumento di misura (occhio, microscopio). ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle p}$

Da un lato, l'inesattezza della  posizione dipende dalla lunghezza d'onda della luce utilizzata. D'altra parte, la deflessione del quanto di luce agisce come un impatto sulla particella, per cui l'impulso del corpo sperimenta un'indeterminatezza di  ( diffusione Compton ). Con l'aiuto della relazione di De Broglie , Heisenberg ha stimato che il limite inferiore fondamentale per queste incertezze era che il prodotto  e  non può essere inferiore alla costante naturale caratteristica della fisica quantistica, il quanto d'azione di Planck . Heisenberg formulò questo limite fondamentale di misurabilità nell'affermazione (simbolica)${\ displaystyle \ Delta x}$${\ displaystyle \ Delta p}$${\ displaystyle \ Delta x}$${\ displaystyle \ Delta p}$ ${\ displaystyle h}$

${\ displaystyle \ Delta x \ cdot \ Delta p \ approx h}$

Il carattere inizialmente qualitativo di questa stima deriva dal fatto che l'affermazione non è stata (rigorosamente) provata e la notazione utilizzata per le incertezze non è definita con precisione. Con un'adeguata interpretazione della notazione nel contesto della moderna meccanica quantistica, tuttavia, risulta che la formula si avvicina molto alla realtà.

Relazione di incertezza ed esperienza quotidiana

Perché queste caratteristiche indeterminatezze non sono state notate in precedenza, né nella vita di tutti i giorni né nella ricerca, può essere compreso se ci si rende conto della piccolezza del quanto d'azione di Planck rispetto alle accuratezze di misurazione tipicamente ottenibili per posizione e quantità di moto. I seguenti esempi includono:

Controllo radar nel traffico stradale

La posizione del veicolo è nel controllo radar fino a essere determinata con precisione, d. H. . Si assume l'incertezza della velocità con e della massa con . Ciò si traduce in un'incertezza sullo slancio di . Così risultante per il prodotto: . La restrizione dovuta alla relazione di incertezza diventerebbe quindi evidente solo se la precisione fosse aumentata di 18 cifre decimali per posizione e velocità. È ovvio che il segnale radar non ha praticamente alcun effetto sul veicolo durante la misurazione.${\ displaystyle \ pm 1 \, \ mathrm {m}}$${\ displaystyle \ Delta x = 2 \, \ mathrm {m}}$${\ displaystyle \ Delta v = 1 \, \ mathrm {{\ tfrac {km} {h}} = {\ tfrac {1000 \, m} {3600 \, s}} \ circa 0 {,} 3 \, { \ tfrac {m} {s}}}}$${\ displaystyle m = 1 \, \ mathrm {t} = 1000 \, \ mathrm {kg}}$${\ displaystyle \ Delta p = m \ cdot \ Delta v = 0 {,} 3 \, \ mathrm {\ tfrac {kg \ cdot km} {s}}}$${\ displaystyle \ Delta x \ times \ Delta p = 9 \ times 10 ^ {35} \, h}$

Macchia di polvere

In un estremamente accurata granello microscopied di una massa e meno sfocatura entrambi posizione geografica, così come la velocità , il risultato per il prodotto: . La restrizione dovuta alla relazione di incertezza diventerebbe evidente qui se la precisione fosse aumentata di quattro cifre decimali per posizione e velocità.${\ displaystyle m = 10 ^ {- 15} \, \ mathrm {kg}}$${\ displaystyle \ Delta x = 0 {,} 01 \, \ mathrm {\ mu m}}$${\ displaystyle \ Delta v = 1 \, \ mathrm {\ tfrac {mm} {s}}}$${\ displaystyle \ Delta x \ cdot \ Delta p = 1 {,} 5 \ cdot 10 ^ {7} \, h}$

Elettrone in atomo

Un atomo ha un diametro di circa un angstrom . Con un'energia cinetica di un elettrone legato in esso di circa , il risultato per l'elettrone è un'incertezza del momento di circa . Una determinazione della posizione con un'imprecisione di circa 10 diametri atomici, risulta per il prodotto , che è ancora nell'intervallo di ciò che è in linea di principio possibile. Per la precisione di posizione dell'ordine del diametro atomica con , tuttavia, si applica quanto segue: . Tuttavia, ciò è in contraddizione con il principio di indeterminazione, quindi una tale accuratezza della descrizione è in linea di principio impossibile.${\ displaystyle E _ {\ mathrm {kin}} = 10 \, \ mathrm {eV}}$${\ displaystyle \ Delta p = 1 {,} 7 \ ​​cdot 10 ^ {- 24} \, \ mathrm {kg {\ tfrac {m} {s}}}}$${\ displaystyle \ Delta x = 10 \, \ mathrm {\ AA}}$${\ displaystyle \ Delta x \ cdot \ Delta p = 2 {,} 5 \, h}$${\ displaystyle \ Delta x = 1 \, \ mathrm {\ AA}}$${\ displaystyle \ Delta x \ cdot \ Delta p = 0 {,} 25 \, h}$

dichiarazione

Le seguenti affermazioni sono riassunte sotto il termine del principio di incertezza o indeterminatezza, che sono correlate tra loro, ma hanno significati fisici diversi. Sono indicati qui come un esempio per la coppia di luogo e quantità di moto.

1. Non è possibile per preparare uno stato meccanico quantistico in cui la posizione e la quantità di moto sono arbitrariamente definiti con precisione.
2. In linea di principio, è impossibile misurare contemporaneamente con precisione la posizione e la quantità di moto di una particella.
3. La misura della quantità di moto di una particella è inevitabilmente collegata a un disturbo della sua posizione e viceversa.

Ciascuna di queste tre affermazioni può essere formulata quantitativamente sotto forma di cosiddette relazioni di incertezza, che indicano un limite inferiore per l'incertezza minima ottenibile della preparazione o misurazione.

Le relazioni di incertezza possono essere applicate anche tra altre coppie di grandezze fisiche . Il prerequisito per questo è che il commutatore dei due operatori quantistici assegnati alle quantità non sia zero. Ad esempio, Franke-Arnold e M. hanno dimostrato sperimentalmente che si applica una relazione corrispondente tra posizione angolare e momento angolare.

Disuguaglianze

Quando si formulano relazioni di incertezza nel contesto della meccanica quantistica, ci sono diversi approcci che fanno riferimento a diversi tipi di processi di misurazione. Le dichiarazioni matematiche corrispondenti risultano quindi a seconda del rispettivo processo di misurazione sottostante.

Relazioni a dispersione

Nella variante più popolare delle relazioni di incertezza, l'incertezza della posizione  x e della quantità di moto  p è definita dalla loro dispersione statistica σ _x e σ _p . La relazione di incertezza dice in questo caso

${\ displaystyle \ sigma _ {x} \ cdot \ sigma _ {p} \ geq {\ frac {\ hbar} {2}} \ ,, \ qquad \ qquad (1)}$

dove ed è il numero del cerchio . ${\ displaystyle \ hbar = {\ frac {h} {2 \ pi}}}$${\ displaystyle \ pi}$

Nel quadro del formalismo della meccanica quantistica, le distribuzioni di probabilità per le misurazioni di posizione e momento e quindi le deviazioni standard risultano dalle funzioni d'onda associate  ψ (x) e φ (p). La disuguaglianza di dispersione deriva quindi dal fatto che queste funzioni d'onda sono collegate tra loro per quanto riguarda la posizione e la quantità di moto tramite una trasformazione di Fourier . La trasformata di Fourier di un pacchetto d'onda limitato nello spazio è di nuovo un pacchetto d'onda, il prodotto delle larghezze del pacchetto che obbedisce a una relazione che corrisponde alla disuguaglianza di cui sopra.

Gli stati di minima incertezza sono chiamati quelle funzioni d'onda ψ (x) e φ (p) per le quali risulta il segno di uguale della disuguaglianza. Heisenberg e Kennard hanno dimostrato che questa proprietà si ottiene per le funzioni d'onda gaussiane . Va notato che la deviazione standard di una densità di probabilità gaussiana non è immediatamente adatta come idea per la sua larghezza complessiva, poiché z. B. l'intervallo di valori in cui la posizione o l'impulso sono con una probabilità del 95% è circa quattro volte più grande.

Misurazione simultanea

Rappresentazione schematica della diffrazione alla fenditura. La precisione Δx della preparazione del sito corrisponde esattamente alla larghezza della fessura.

Nella variante della relazione di incertezza pubblicata originariamente da Heisenberg, il concetto di incertezza di posizione e quantità di moto non è sempre rappresentato dallo spread statistico. Un esempio di ciò è l' esperimento mentale spesso discusso in cui la posizione e la quantità di moto delle particelle devono essere determinate con l'aiuto della singola fenditura : un ampio fascio di elettroni che volano in parallelo con lo stesso momento colpisce uno schermo con una fenditura della larghezza (vedi figura a destra). Quando si passa attraverso il gap, la coordinata di posizione degli elettroni (nella direzione attraverso il gap) è nota tranne che per l'incertezza . Il mascheramento provoca una diffrazione del fascio, per cui onde elementari emanano da tutti i punti della fenditura secondo il principio di Huygens . Dopo aver attraversato lo spazio, questo porta ad un allargamento del raggio, i. H. per ogni singolo elettrone a una deflessione di un certo angolo . ${\ displaystyle \ Delta x}$${\ displaystyle \ Delta x}$${\ displaystyle \ alpha}$

I seguenti requisiti sono ora soddisfatti:

• L'angolo di deflessione è una variabile casuale che può assumere un valore diverso per ciascuna particella, la distribuzione di frequenza essendo data dal modello di interferenza.${\ displaystyle \ alpha}$
• Quanto segue si applica alla lunghezza d'onda di de Broglie della particella:${\ displaystyle \ lambda}$

${\ displaystyle \ lambda = {\ frac {h} {p}}}$

• Affinché il primo minimo di interferenza possa ancora essere visto otticamente sullo schermo, la differenza di percorso deve essere almeno pari alla lunghezza d'onda di De Broglie della particella:

${\ displaystyle \ Delta x \, \ sin (\ alpha) \; \ gtrsim \; \ lambda}$

• Secondo Heisenberg, vengono considerate solo le particelle nel massimo principale del fascio diffratto. I loro angoli di deflessione corrispondono a un impulso nella direzione x che si trova all'interno del dato intervallo di impulsi Δ p (non una variabile casuale) del primo minimo di diffrazione sulla scala degli impulsi. Formalmente, questi sono esattamente quelli che soddisfano la seguente condizione:${\ displaystyle \ alpha}$

${\ Displaystyle p \ cdot \ sin (\ alpha) \ leq \ Delta p}$

Le ultime due relazioni, insieme alla formula di de Broglie, danno come risultato la seguente restrizione per gli angoli di scattering considerati:

${\ displaystyle {\ frac {h} {p \ cdot \ Delta x}} \; \ lesssim \; \ sin (\ alpha) \; \ leq \; {\ frac {\ Delta p} {p}}}$

Se in questa espressione vengono considerati solo i termini esterni, dopo la moltiplicazione per p · Δ x la relazione di Heisenberg risulta  :

${\ displaystyle \ Delta x \ cdot \ Delta p \; \ gtrsim \; h \ quad \ quad \ quad (2)}$

La principale differenza tra le due disuguaglianze (1) e (2) risiede nella rispettiva preparazione e nei processi di misurazione sottostanti. Nel caso della relazione di scattering (1), la misura dello scattering σ _x e σ _{p si} riferisce a diversi campioni di particelle, motivo per cui in questo caso non si può parlare di misurazioni simultanee. Il contenuto fisico della relazione di Heisenberg (2) non può quindi essere descritto dalla relazione di Kennard (1).

Un'affermazione che si riferisce alla preparazione (proiezione) attraverso una fenditura nel senso di (2) e fornisce comunque una stima per la dispersione σ _{p della} quantità _di moto può essere formulata come segue: per particelle (funzioni d'onda) che sono in un finito Intervallo Δ x , la deviazione standard per la quantità di moto soddisfa la disuguaglianza:

${\ displaystyle \ sigma _ {p} \ cdot \ Delta x \ geq \ pi \ cdot \ hbar}$

La minima diffusione possibile della distribuzione della quantità di moto dipende quindi dalla larghezza predeterminata Δ x dello spazio. Al contrario, la preparazione in disuguaglianza (1) si riferisce a quelle particelle che sono note per aver avuto uno scatter σ _x prima della misurazione della quantità di moto . Pertanto, le particelle del test di clivaggio non possono raggiungere il limite inferiore di disuguaglianza (1), poiché le densità di probabilità gaussiane non sono uguali a zero sull'intero asse reale e non solo in un sotto-intervallo finito di lunghezza Δ x.

Indipendentemente da quale preparazione della funzione d'onda viene eseguita nello spazio spaziale , l'esperimento di diffrazione di Heisenberg mostra che una precedente trasformazione di Fourier è sempre necessaria per misurare la densità di probabilità dell'impulso. Qui, Heisenberg comprende l'inevitabile "disturbo del sistema" come l'influenza di questa trasformazione di Fourier sullo stato della meccanica quantistica nello spazio spaziale. Nell'esperimento questo disturbo è causato dalla propagazione temporale e dalla dissipazione della funzione d'onda tra la fenditura e lo schermo. Quest'ultimo corrisponde all'affermazione 3 del capitolo precedente.

Rumore e interferenza di misurazione

Un'altra variante delle disuguaglianze che tiene esplicitamente conto dell'influenza dell'interazione tra l' oggetto di misurazione e l' apparato di misurazione nel contesto di un processo di misurazione di Von Neumann porta alla seguente espressione ( disuguaglianza di Ozawa ):

${\ displaystyle \ varepsilon _ {x} \ cdot \ eta _ {p} + \ varepsilon _ {x} \ cdot \ sigma _ {p} + \ sigma _ {x} \ cdot \ eta _ {p} \ geq { \ frac {\ hbar} {2}}}$

Le nuove variabili ε _x e η _p denotano l'influenza dell'apparato di misura sulle variabili misurate in esame:

• ${\ displaystyle \ varepsilon _ {x}}$la deviazione media tra la posizione prima dell'interazione nel dispositivo di misurazione e il valore che viene visualizzato dopo (misurazione del rumore )
• ${\ displaystyle \ eta _ {p}}$la variazione media della quantità di moto durante lo sviluppo del tempo nell'apparato di misura.
• ${\ displaystyle \ sigma _ {x}}$la pura fluttuazione quantistica del luogo
• ${\ displaystyle \ sigma _ {p}}$ la pura fluttuazione quantistica della quantità di moto

Le due misure di incertezza differiscono concettualmente l'una dall'altra, poiché nel secondo caso non si tiene conto del valore misurato dell'impulso che verrebbe visualizzato alla fine.

Supponendo che

1. il rumore di misura ε _x e il disturbo η _{p sono} indipendenti dallo stato ψ della particella e
2. lo scatter σ _{x della} distribuzione locale della particella è minore del rumore di misurazione ε _x ,

è diventata la disuguaglianza dalla relazione (1)

${\ displaystyle \ varepsilon _ {x} \ cdot \ eta _ {p} \ geq {\ frac {\ hbar} {2}}}$

inferito, che viene interpretato dal fisico giapponese Masanao Ozawa come espressione per il processo di misurazione di Heisenberg. Tuttavia, poiché la presente considerazione non è una misura simultanea nel senso di Heisenberg (σ _p non viene presa in considerazione), è prevedibile che il prodotto ε _x · η _{p possa} anche avere valori inferiori a ħ / 2 . Ciò ha portato alcuni autori a dire che Heisenberg aveva torto.

Il concetto di fondo, che tiene esplicitamente conto dell'influenza dell'interazione all'interno del dispositivo di misura sugli osservabili fisici, è stato verificato nel 2012 attraverso esperimenti con spin di neutroni e attraverso esperimenti con fotoni polarizzati .

generalizzazione

La disuguaglianza (1) dimostrata per la prima volta da Kennard fu formalmente generalizzata nel 1929 da Howard P. Robertson . Con questa generalizzazione è anche possibile specificare relazioni indistinte tra altre grandezze fisiche. Questi includono, ad esempio, le disuguaglianze per quanto riguarda le diverse componenti del momento angolare , tra energia e momento, o energia e posizione.

In generale, la seguente disuguaglianza può essere formulata per due osservabili  A e  B nella notazione di Bra-Ket :

${\ displaystyle \ sigma _ {A} \ cdot \ sigma _ {B} \ geq {\ frac {1} {2}} \ left | \ langle \ psi | [{\ hat {A}}, {\ hat { B}}] | \ psi \ rangle \ right |}$

Ecco

• ${\ displaystyle {\ hat {A}}}$e gli operatori lineari autoaggiunti appartenenti alle osservabili${\ displaystyle {\ hat {B}}}$
• ${\ displaystyle [{\ hat {A}}, {\ hat {B}}] = {\ hat {A}} {\ hat {B}} - {\ hat {B}} {\ hat {A}} }$il commutatore di  A e  B.

In contrasto con la relazione (1) per posizione e quantità di moto, nella relazione generalizzata di Robertson il lato destro della disuguaglianza può anche essere esplicitamente dipendente dalla funzione d'onda. Il prodotto dello scatter di A e B può quindi assumere anche valore zero, non solo quando le osservabili  A e  B commutano tra loro, ma per special anche quando non è così. ${\ displaystyle \ psi}$

Per posizione e quantità di moto così come per altre coppie di osservabili complementari il commutatore è proporzionale all'operatore dell'unità ; quindi, per osservabili complementari, il valore di aspettativa nella relazione di Robertson non può mai diventare zero. Altre variabili che sono spesso menzionate in questo contesto e che non si scambiano tra loro (ad esempio due diverse componenti del momento angolare), d'altra parte, non sono complementari tra loro, perché il loro prodotto di scambio non è un numero ma un operatore. Tali coppie di osservabili sono chiamate incommensurabili .

Al contrario, le osservabili intercambiabili sono in ogni caso, ad es. H. per tutti misurabili contemporaneamente senza dispersione, poiché il loro commutatore scompare. Si tratta quindi di osservabili compatibili , commensurabili o tollerabili . ${\ displaystyle \ psi}$

La disuguaglianza di cui sopra può essere dimostrata in poche righe:

In primo luogo, le varianze degli operatori A e B sono rappresentate con l'aiuto di due funzioni di stato f e g, i. cioè, sia

${\ displaystyle {\ begin {align} | f \ rangle &: = {\ big (} {\ hat {A}} - \ langle {\ hat {A}} \ rangle {\ big)} | \ psi \ rangle \\ | g \ rangle &: = {\ big (} {\ hat {B}} - \ langle {\ hat {B}} \ rangle {\ big)} | \ psi \ rangle. \ end {align}} }$

Ciò fornisce le seguenti rappresentazioni per le varianze degli operatori:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ sigma _ {A} ^ {2} & = {\ Big \ langle} \ psi {\ Big |} {\ big (} {\ hat {A}} - \ langle { \ hat {A}} \ rangle {\ big)} ^ {2} {\ Big |} \ psi {\ Big \ rangle} = \ langle f | f \ rangle \\\ sigma _ {B} ^ {2} & = {\ Big \ langle} \ psi {\ Big |} {\ big (} {\ hat {B}} - \ langle {\ hat {B}} \ rangle {\ big)} ^ {2} {\ Big |} \ psi {\ Big \ rangle} = \ langle g | g \ rangle. \ End {align}}}$

Usando la disuguaglianza di Schwarz otteniamo:

${\ displaystyle \ sigma _ {A} ^ {2} \ sigma _ {B} ^ {2} = \ langle f | f \ rangle \ langle g | g \ rangle \ geq | \ langle f | g \ rangle | ^ {2}}$

Per riportare questa disuguaglianza nella forma usuale, il lato destro viene ulteriormente stimato e calcolato. A questo scopo si usa che il quadrato del valore assoluto di qualsiasi numero complesso z non può essere più piccolo del quadrato della sua parte immaginaria, ad es. H.

${\ displaystyle | z | ^ {2} \ geq \ operatorname {Im} (z) ^ {2} = \ left [{\ frac {zz ^ {*}} {2 \ mathrm {i}}} \ right] ^ {2},}$

dove rappresenta la parte immaginaria di . La sostituzione risulta nella stima del prodotto degli scostamenti ${\ Displaystyle \ operatorname {Im} (z)}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle z: = \ langle f | g \ rangle}$

${\ displaystyle \ sigma _ {A} ^ {2} \ sigma _ {B} ^ {2} \ geq \ left | {\ frac {1} {2 \ mathrm {i}}} {\ big (} \ langle f | g \ rangle - \ langle g | f \ rangle {\ big)} \ right | ^ {2}.}$

Per i prodotti scalari che si verificano in essi e sono ottenuti da ulteriori calcoli ${\ displaystyle \ langle f | g \ rangle}$${\ displaystyle \ langle g | f \ rangle}$

${\ displaystyle \ langle f | g \ rangle = \ langle {\ hat {A}} {\ hat {B}} \ rangle - \ langle {\ hat {A}} \ rangle \ langle {\ hat {B}} \ rangle \ qquad {\ text {o}} \ qquad \ langle g | f \ rangle = \ langle {\ hat {B}} {\ hat {A}} \ rangle - \ langle {\ hat {A}} \ rangle \ langle {\ hat {B}} \ rangle.}$

Ciò si traduce nella differenza nella disuguaglianza

${\ displaystyle \ langle f | g \ rangle - \ langle g | f \ rangle = \ langle {\ hat {A}} {\ hat {B}} \ rangle - \ langle {\ hat {B}} {\ hat {A}} \ rangle = {\ big \ langle} \ psi {\ big |} [{\ hat {A}}, {\ hat {B}}] {\ big |} \ psi {\ big \ rangle} ,}$

quindi proprio il valore atteso del commutatore. Questo alla fine porta alla disuguaglianza

${\ displaystyle \ sigma _ {A} ^ {2} \ sigma _ {B} ^ {2} \ geq \ left | {\ frac {1} {2 \ mathrm {i}}} {\ big \ langle} \ psi {\ big |} [{\ hat {A}}, {\ hat {B}}] {\ big |} \ psi {\ big \ rangle} \ right | ^ {2}}$

e prendendo la radice si ottiene la disuguaglianza di cui sopra.

Derivazione della relazione di incertezza secondo von Neumann

Si presume che venga fornito quanto segue:

• Uno spazio di Hilbert , fornito con il prodotto scalare e il relativo livello e con l' operatore di identità su ;${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$ ${\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ | = {\ langle \ cdot, \ cdot \ rangle} ^ {\ frac {1} {2}}}$${\ displaystyle \ mathbf {1} _ {\ mathcal {H}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}} \;}$
• Due operatori lineari autoaggiunti definiti in e con per un certo scalare ;${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {A}} \ due punti {\ mathcal {H}} \ supset D ({\ hat {A}}) \ to {\ mathcal {H}}}$${\ displaystyle {\ hat {B}} \ due punti {\ mathcal {H}} \ supset D ({\ hat {B}}) \ to {\ mathcal {H}}}$${\ displaystyle [{\ hat {A}}, {\ hat {B}}] = a \ mathbf {1} _ {\ mathcal {H}}}$ ${\ displaystyle a \ in \ mathbb {C} \ setminus \ {0 \}}$
• Uno della norma  .${\ displaystyle \ psi \ in {\; {\ bigl (} D ({\ hat {A}}) \ cap D ({\ hat {B}}) \ cap {\ hat {A}} ^ {- 1 } (D ({\ hat {B}})) \ cap {\ hat {B}} ^ {- 1} (D ({\ hat {A}})) {\ bigr)} \;} \ subseteq { \ mathcal {H}}}$${\ displaystyle \ | \ psi \ | = 1}$

Su questa base, è possibile eseguire le seguenti fasi di calcolo:

Passo 1

È:

${\ displaystyle \ operatorname {Im} {\ langle {\ hat {A}} \ psi, {\ hat {B}} \ psi \ rangle} = {\ frac {\ langle {\ hat {A}} \ psi, {\ hat {B}} \ psi \ rangle - \ langle {\ hat {B}} \ psi, {\ hat {A}} \ psi \ rangle} {2 \ mathrm {i}}}}$

Così:

${\ displaystyle {\ begin {align} 2 \ cdot \ operatorname {Im} {\ langle {\ hat {A}} \ psi, {\ hat {B}} \ psi \ rangle} & = - \ mathrm {i} \ cdot (\ langle {\ hat {B}} {\ hat {A}} \ psi, \ psi \ rangle - \ langle {\ hat {A}} {\ hat {B}} \ psi, \ psi \ rangle ) = - \ mathrm {i} \ cdot \ langle {\ hat {B}} {\ hat {A}} \ psi - {\ hat {A}} {\ hat {B}} \ psi, \ psi \ rangle = \ mathrm {i} \ cdot \ langle ({\ hat {A}} {\ hat {B}} - {\ hat {B}} {\ hat {A}}) \ psi, \ psi \ rangle \\ & = \ mathrm {i} \ cdot \ langle [{\ hat {A}}, {\ hat {B}}] \ psi, \ psi \ rangle = \ mathrm {i} \ cdot \ langle a \ mathbf {1 } _ {\ mathcal {H}} \ psi, \ psi \ rangle = \ mathrm {i} \ cdot a \ cdot \ langle \ psi, \ psi \ rangle = \ mathrm {i} \ cdot a \ cdot {\ | \ psi \ |} ^ {2} \ end {allineato}}}$

Questo significa:

${\ displaystyle {\ | \ psi \ |} ^ {2} = - {\ frac {2 \ mathrm {i}} {a}} \ cdot \ operatorname {Im} {\ langle {\ hat {A}} \ psi, {\ hat {B}} \ psi \ rangle} \ leq {\ frac {2} {| a |}} \ cdot | \ langle {\ hat {A}} \ psi, {\ hat {B}} \ psi \ rangle |}$

Quindi segue con Cauchy-Schwarz :

${\ displaystyle {\ | \ psi \ |} ^ {2} \ leq {\ frac {2} {| a |}} \ cdot \ | {\ hat {A}} \ psi \ | \ cdot \ | {\ ha {B}} \ psi \ |}$

passo 2

Se sono presenti due scalari, l' equazione del commutatore si applica allo stesso modo anche a e . ${\ displaystyle r, s \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle {\ hat {A}} _ {r} = {\ hat {A}} - r \ mathbf {1} _ {\ mathcal {H}}}$${\ displaystyle {\ hat {B}} _ {s} = {\ hat {B}} - s \ mathbf {1} _ {\ mathcal {H}}}$

Di conseguenza, si ha sempre molto in generale:

${\ displaystyle {\ | \ psi \ |} ^ {2} \ leq {\ frac {2} {| a |}} \ cdot \ left \ | {\ hat {A}} _ {r} \ psi \ right \ | \ cdot \ left \ | {\ hat {B}} _ {s} \ psi \ right \ | = {\ frac {2} {| a |}} \ cdot \ left \ | {\ hat {A} } \ psi -r \ psi \ right \ | \ cdot \ left \ | {\ hat {B}} \ psi -s \ psi \ right \ |}$

fase 3

Come risultato del passaggio 2, a causa di con e riceve sempre ${\ displaystyle \ | \ psi \ | = 1}$${\ displaystyle r = \ langle {\ hat {A}} \ psi, \ psi \ rangle}$${\ displaystyle s = \ langle {\ hat {B}} \ psi, \ psi \ rangle}$

${\ displaystyle \ left \ | {\ hat {A}} \ psi - \ langle {\ hat {A}} \ psi, \ psi \ rangle \ psi \ right \ | \ cdot \ left \ | {\ hat {B }} \ psi - \ langle {\ hat {B}} \ psi, \ psi \ rangle \ psi \ right \ | \ geq {\ frac {| a |} {2}} \ cdot}$

Passaggio 4

Per il caso di rilevanza meccanica quantistica , si ottiene il principio di indeterminazione di Heisenberg${\ displaystyle \ textstyle a = {\ frac {\ hbar} {\ mathrm {i}}}}$

${\ displaystyle \ left \ | {\ hat {A}} \ psi - \ langle {\ hat {A}} \ psi, \ psi \ rangle \ psi \ right \ | \ cdot \ left \ | {\ hat {B }} \ psi - \ langle {\ hat {B}} \ psi, \ psi \ rangle \ psi \ right \ | \ geq {\ frac {\ hbar} {2}}}$

Osservazioni

1. ↑ Secondo il teorema di Wintner-Wielandt, Wegen è inevitabilmente a dimensione infinita . Allo stesso modo, perché in connessione con il teorema di Hellinger-Toeplitz, non può essere applicato neanche . vedi: Harro Heuser : analisi funzionale. Teoria e applicazione (=  Linee guida matematiche . Volume${\ displaystyle a \ neq 0}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$${\ displaystyle a \ neq 0}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}} = D ({\ hat {A}}) = D ({\ hat {B}})}$
    36 ). 4a edizione rivista. Teubner Verlag , Wiesbaden 2006, ISBN 978-3-8351-0026-8 , p. 102, 244, 564-565 . 
2. ↑ Di seguito è scritto brevemente invece di . Inoltre, va notato che l'apice dopo l'operatore si riferisce al rispettivo originale .${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$${\ displaystyle -1}$
3. ↑ Qui e nel seguito si segue la descrizione di John von Neumann e la pratica dell'analisi, secondo la quale il prodotto scalare è lineare nella prima componente e antilineare nella seconda componente . La pratica opposta si trova spesso in fisica. La variante che segui non ha alcuna influenza sul risultato qui nell'articolo. In particolare, va notato che puramente immaginario è se e solo se è puramente immaginario.${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle {\ bar {a}}}$
4. ↑ Come la seconda equazione del passaggio 1, lo scalare nelle condizioni date ha sempre una parte puramente immaginaria, quindi reale libera di essere.${\ displaystyle a}$

Esempi

1. Se nel capitolo precedente si sceglie per gli operatori come e e usa che la posizione e la quantità di moto si applicano al commutatore , allora la disuguaglianza di Robertson risulta nella relazione di Kennard. Il lato destro della relazione è indipendente dalla funzione d'onda della particella, poiché in questo caso il commutatore è una costante. ${\ displaystyle A = x}$${\ displaystyle B = p}$${\ displaystyle [x, p] = i \ hbar}$

2. Una relazione di incertezza per la misurazione dell'energia cinetica e la posizione risulta dal commutatore : ${\ displaystyle \ textstyle T = {\ frac {1} {2}} \ cdot {\ frac {p ^ {2}} {m}}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle [T, x] = - \ mathrm {i} \ hbar \ cdot p / m}$

${\ displaystyle \ sigma _ {T} \ cdot \ sigma _ {x} \ geq {\ frac {\ hbar} {2}} \ cdot {\ frac {| \ langle {\ hat {p}} \ rangle |} {m}}}$

In questo caso il limite inferiore non è costante, ma dipende dal valore medio della quantità di moto e quindi dalla funzione d'onda della particella.

3. Quando si misura l'energia e la quantità di moto di una particella in un potenziale che dipende dalla posizione , il commutatore dell'energia e della quantità di moto totali dipende dalla derivata del potenziale (forza): la relazione di incertezza corrispondente per energia e quantità di moto è quindi ${\ displaystyle V (x)}$${\ displaystyle H = T + V}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle [H, p] = - \ mathrm {i} \ hbar \ cdot V '.}$

${\ displaystyle \ sigma _ {H} \ cdot \ sigma _ {p} \ geq {\ frac {\ hbar} {2}} \, \ left | {\ big \ langle} V '({\ hat {x} }) {\ big \ rangle} \ right |}$

Anche in questo esempio, il lato destro della disuguaglianza non è generalmente una costante.

4. Nel caso della misura di energia e tempo, la generalizzazione di Robertson non può essere applicata direttamente, poiché il tempo non è definito come un operatore nella teoria quantistica standard. Con l'aiuto del teorema di Ehrenfest e una definizione alternativa di incertezza temporale, tuttavia, è possibile dimostrare una disuguaglianza analogica, vedere relazione di incertezza energia-tempo .

5. La rappresentazione si applica alla dipendenza dal tempo dell'operatore di posizione di una particella libera nell'immagine di Heisenberg

${\ displaystyle {\ hat {x}} (t) = {\ hat {x}} (0) + {\ frac {\ hat {p}} {m}} \, t}$

A causa della dipendenza dalla quantità di moto in questa rappresentazione, il commutatore di due operatori di posizione ai diversi tempi 0 e non svanisce: ciò si traduce nella relazione di incertezza per il prodotto della dispersione delle due misurazioni di posizione nell'intervallo di tempo${\ displaystyle t}$${\ displaystyle [x (0), x (t)] = \ mathrm {i} \ hbar \ cdot t / m}$${\ displaystyle t}$

${\ displaystyle \ sigma _ {x} (0) \ cdot \ sigma _ {x} (t) \ geq {\ frac {\ hbar} {2}} \ cdot {\ frac {t} {m}}}$

Maggiore è il tempo che trascorre tra le due misurazioni della dispersione, maggiore è la sfocatura minimamente ottenibile. Per due istantaneamente, ad es. H. Misurazioni simultanee della posizione, invece, (t = 0), il commutatore scompare e il limite inferiore della disuguaglianza diventa 0.

6. La larghezza minima di una barriera in galleria può essere stimata utilizzando la relazione di incertezza. Se guardi un elettrone con la sua massa e carica elettrica che attraversa una differenza di potenziale , il risultato è l'incertezza spaziale e quindi la larghezza minima della barriera del tunnel ${\ displaystyle m_ {e}}$ ${\ displaystyle e,}$ ${\ displaystyle U}$

${\ displaystyle \ sigma _ {x} \ geq {\ frac {\ hbar} {\ sqrt {8 \ cdot m_ {e} \ cdot e \ cdot U}}}}$

Con una differenza di potenziale di 100 mV, come accade nella microscopia a tunneling a scansione , questa relazione si traduce in una più piccola barriera a tunnel di circa 0,3 nm, che concorda bene con le osservazioni sperimentali.

Guarda anche

• Esperimento a doppia fenditura
• Interpretazioni della meccanica quantistica
• Misura meccanica quantistica
• Tomografia quantistica

letteratura

• Werner Heisenberg: sul contenuto descrittivo della cinematica e della meccanica teorica quantistica. Zeitschrift für Physik, volume 43, 1927, pagg. 172-198.
• Ders.: I principi fisici della teoria quantistica. S. Hirzel 1930, 2008.
• Ders.: La parte e il tutto . Piper, Monaco di Baviera 1969.
• Ders.: Teoria quantistica e filosofia. Reclam, Stoccarda 1979.
• Johann v. Neumann : Fondamenti matematici della meccanica quantistica. Ristampa invariata della 1a edizione del 1932. Capitolo III "La statistica quantistica". Sezione 4 "Relazioni di indeterminatezza" (=  Gli insegnamenti di base delle scienze matematiche nelle rappresentazioni individuali . Volume 38 ). Springer-Verlag , Berlino e altri 1968, ISBN 3-540-04133-8 . MR0223138 
• Joachim Weidmann : Operatori lineari negli spazi di Hilbert. Parte 1: Nozioni di base (=  linee guida matematiche ). Teubner Verlag , Stuttgart et al. 2000, ISBN 3-519-02236-2 . MR1887367 

link internet

• Jan Hilgevoord e Jos Uffink:  Entry in Edward N. Zalta (a cura di): Stanford Encyclopedia of Philosophy .Modello: SEP / Manutenzione / Parametro 1 e Parametro 3 e non Parametro 2
• Il principio di indeterminazione di Heisenberg. Derivazione comprensibile per persone con conoscenze precedenti da Hendrik van Hees, 1998.
• Qual è la relazione di incertezza? dalla serie televisiva alpha-Centauri (circa 15 minuti). Prima trasmissione il 28 aprile 2002.
• Qual è il significato della relazione di incertezza? dalla serie televisiva alpha-Centauri (circa 15 minuti). Prima trasmissione il 9 giugno 2002.
• Limiti della nostra conoscenza. Presentazione di Olga Teider in Introduzione alla teoria quantistica. Sito web del Istituto di Chimica Teorica presso l' Università di Ulm , 2003.
• Rainer Scharf: Quantum Physics. Il grande Heisenberg si sbagliava. In: FAZ.NET del 17 novembre 2012.

Prove individuali

1. ↑ ^{a b c d e f g} W. Heisenberg: Informazioni sul contenuto descrittivo della cinematica e della meccanica teorica quantistica . In: Journal of Physics . nastro 43 , n. 3 , 1927, pagg. 172–198 , doi : 10.1007 / BF01397280 ([ Original work as HTML ( Memento from May 10, 2013 in the Internet Archive )]). 
2. ↑ Vedi Walter Greiner : Quantum Mechanics . 6. revisionato e exp. Edizione. Casa editrice Harri Deutsch , Zurigo et al. 2005, ISBN 978-3-8171-1765-9 , pagg. 55-56 . 
   • 1) p. 55 sotto: “Il carattere ondulatorio della materia ... è espresso, tra le altre cose, dal fatto che nel campo della microfisica c'è una connessione diretta tra la posizione e la determinazione della quantità di moto. Ciò si manifesta nel fatto che la posizione e la quantità di moto di una particella non possono essere definite nettamente allo stesso tempo. Il grado di incertezza è dato dal principio di indeterminazione di Heisenberg. "
   • 2) P. 56 (nota a piè di pagina): "Alla ricerca della corretta descrizione dei fenomeni atomici, Heisenberg formulò il suo principio positivistico nel luglio 1925 secondo cui dovrebbero essere usate solo quantità" principalmente osservabili "... In stretta collaborazione con N. Bohr, Heisenberg è riuscito a mostrare il fondo fisico più profondo del nuovo formalismo. Il principio di indeterminazione di Heisenberg del 1927 divenne la base dell'interpretazione di Copenaghen della teoria quantistica ".
3. ↑ ^{a b} Werner Heisenberg: Principi fisici della teoria quantistica. S. Hirzel Verlag, Lipsia 1930.
4. ↑ Paul Busch, Teiko Heinonen, Pekka Lahti: il principio di indeterminazione di Heisenberg . In: Rapporti di fisica . nastro 452 , n. 6 , 2007, pagg. 155-176 , doi : 10.1016 / j.physrep.2007.05.006 , arxiv : quant-ph / 0609185v3 . 
5. ↑ Sonja Franke-Arnold et al.: Principio di incertezza per posizione angolare e momento angolare , in: New Journal of Physics Vol. 6 (2004) p. 103, [1]
6. ↑ ^{a b} E. H. Kennard: Sulla meccanica quantistica dei tipi semplici di movimento . In: Journal of Physics . nastro 44 , n. 4 , 1927, pagg. 326-352 , doi : 10.1007 / BF01391200 . 
7. ↑ LE Ballentine: The Statistical Interpretation of Quantum Mechanics . In: Recensioni di fisica moderna . nastro 42 , n. 4 , 1970, p. 358-381 . 
8. ↑ JBM Uffink, J. Hilgevoord: Principio di incertezza e relazioni di incertezza . In: Fondamenti di fisica . nastro 15 , n. 9 , 1985, pagg. 925-944 , doi : 10.1007 / BF00739034 . 
9. ↑ T. Schürmann, I. Hoffmann: Uno sguardo più da vicino alla relazione di incertezza tra posizione e quantità di moto . In: Fondamenti di fisica . nastro 39 , n. 8 , 2009, pag. 958-963 , doi : 10.1007 / s10701-009-9310-0 , arxiv : 0811.2582 . 
10. ↑ ^{a b} Masanao Ozawa: contenuto fisico della relazione di incertezza di Heisenberg: limitazione e riformulazione . In: Phys. Lett. A . nastro 318 , 2003, p. 21-29 , arxiv : quant-ph / 0210044 . 
11. ↑ Incertezza quantistica: ne è sicuro, signor Heisenberg? In: Science Daily. 18 gennaio 2012.
12. ↑ Geoff Brumfiel: L' interpretazione comune del principio di indeterminazione di Heisenberg è dimostrata falsa. Scientific American, 11 settembre 2012.
13. ↑ Confronta anche Rainer Scharf: Quantum Physics. Il grande Heisenberg si sbagliava. In: FAZ.NET del 17 novembre 2012.
14. ↑ ^{a b} H. P. Robertson: The Uncertainty Principle . In: revisione fisica . nastro 34 , n. 1 , 1929, pagg. 163-164 , doi : 10.1103 / PhysRev.34.163 . 
15. ↑ Johann v. Neumann : Fondamenti matematici della meccanica quantistica. Ristampa invariata della 1a edizione del 1932. Capitolo III "La statistica della meccanica quantistica". Sezione 4 "Rapporti di indeterminatezza" (=  Le dottrine di base delle scienze matematiche nelle rappresentazioni individuali . Volume 38 ). 1a edizione. Springer-Verlag , Berlino e altri 1968, ISBN 3-540-04133-8 , pagg. 123-124 . 
16. ↑ Markus Bautsch: indagini microscopiche a tunnel su metalli atomizzati con argon. Capitolo 2.1: Tunneling sottovuoto - principio di indeterminazione nel tunneling. Pagina 10, Verlag Köster, Berlino (1993), ISBN 3-929937-42-5 .