Legge di Stefan Boltzmann

La legge di Stefan-Boltzmann è una legge fisica che specifica la potenza termicamente irradiata di un corpo nero ideale in funzione della sua temperatura . Prende il nome dai fisici Josef Stefan e Ludwig Boltzmann .

panoramica

Aumento della potenza radiante emessa rispetto alla temperatura

Ogni corpo con una temperatura superiore allo zero assoluto emette radiazioni termiche nell'ambiente circostante. Un corpo nero è un corpo idealizzato che può assorbire completamente tutte le radiazioni che lo colpiscono (grado di assorbimento = 1). Secondo la legge della radiazione di Kirchhoff , la sua emissività  ε raggiunge quindi anche il valore 1, ed emette la massima potenza termica possibile alla relativa temperatura. La legge di Stefan-Boltzmann specifica la potenza di radiazione emessa da un corpo nero della superficie e la temperatura assoluta . Si legge in tre dimensioni dello spazio ${\ stile di visualizzazione P}$${\ stile di visualizzazione A}$ ${\ stile di visualizzazione T}$

${\ displaystyle P = \ sigma \ cdot A \ cdot T ^ {4}}$

con la costante di Stefan-Boltzmann . La potenza radiante di un corpo nero è proporzionale alla quarta potenza della sua temperatura assoluta: raddoppiando la temperatura la potenza irradiata aumenta di un fattore 16. Questa legge è quindi anche conosciuta come "T-alla potenza di quattro legge di Boltzmann". ${\ displaystyle \ sigma}$

Il valore della costante di Stefan-Boltzmann è

${\ displaystyle \ sigma = {\ frac {2 \ pi ^ {5} k _ {\ mathrm {B}} ^ {4}} {15 h ^ {3} c ^ {2}}} = 5 {,} 670 \ , 374 \, 419 ... \, \ cdot 10 ^ {- 8} \, \ mathrm {\ frac {W} {m ^ {2} K ^ {4}}}.}$

È noto proprio perché il Sistema Internazionale di Unità è stato definito a partire dalla revisione del 2019 dal fatto che, tra l'altro, alle costanti c, h e k _{B è stato assegnato} un valore fisso.

In questa forma, la legge di Stefan-Boltzmann si applica ai corpi tridimensionali, ad es. Cioè, l'espansione del corpo in tutte le direzioni spaziali è molto maggiore delle lunghezze d'onda della radiazione elettromagnetica, il cui contributo alle prestazioni complessive non è trascurabile. Se una delle dimensioni del corpo è molto più piccola delle relative lunghezze d'onda, è un corpo bidimensionale (superficie), se due dimensioni sono molto più piccole, è unidimensionale (asta).

In questi casi, le onde nel corpo non possono propagarsi in tre dimensioni, e quindi l'energia interna totale è minore. Di conseguenza, la potenza emessa dipende anche dalla dimensione. ${\ stile di visualizzazione U}$

Si applica quanto segue:

${\ displaystyle U_ {3} = a_ {3} VT ^ {4}}$

Con

${\ displaystyle a_ {3} = {\ frac {4 \ sigma} {c}} \ circa 7 {,} 566 \ cdot 10 ^ {- 16} \ mathrm {\ frac {J} {m ^ {3} K ^ {4}}}}$

come

${\ displaystyle U_ {2} = a_ {2} AT ^ {3} \ cdot}$

Con

${\ displaystyle a_ {2} = {\ frac {4 \ pi k _ {\ mathrm {B}} ^ {3} \ zeta (3)} {h ^ {2} c ^ {2}}} \ circa 1 { ,} 007 \ cdot 10 ^ {- 18} \, \ mathrm {\ frac {J} {m ^ {2} K ^ {3}}}}$,

dove è la funzione zeta di Riemann ed è indicata anche come costante di Apéry , e ${\ displaystyle \ zeta (s)}$${\ displaystyle \ zeta (3)}$

${\ displaystyle U_ {1} = a_ {1} LT ^ {2}}$

Con

${\ displaystyle a_ {1} = {\ frac {\ pi ^ {2} k _ {\ mathrm {B}} ^ {2}} {3hc}} \ circa 3 {,} 157 \ cdot 10 ^ {- 21 } \, \ mathrm {\ frac {J} {K ^ {2} m}}}$

L'energia irradiata di un corpo nero è generalmente proporzionale alla -esima potenza della sua temperatura assoluta, dove denota la dimensione del corpo. ${\ stile di visualizzazione (n + 1)}$${\ stile di visualizzazione n}$

Derivazione dalla termodinamica

La legge di Stefan-Boltzmann fu scoperta sperimentalmente da Josef Stefan nel 1879. Nel 1884, Boltzmann derivò questa legge di radiazione dalle leggi della termodinamica e dall'elettrodinamica Maxwelliana classica . Basato su una delle equazioni termodinamiche di base per un sistema chiuso in equilibrio termodinamico :

${\ displaystyle T \ mathrm {d} S = \ mathrm {d} U + p \ mathrm {d} V}$

si trova l'espressione tenendo conto della condizione di integrabilità

${\displaystyle\sinistra ({\frac {\parziale U} {\parziale V}}\destra) _ {T} = T\sinistra ({\frac {\parziale p} {\parziale T}}\destra) _ {V} -p.}$

Con

• ${\ stile di visualizzazione S}$: Entropia
• ${\ stile di visualizzazione U}$: energia interna
• ${\ stile di visualizzazione V}$: Volume
• ${\ stile di visualizzazione p}$: Pressione
• ${\ stile di visualizzazione T}$: Temperatura .

Maxwell dimostrò già nel 1873 che la pressione di radiazione era

${\ displaystyle p = {\ frac {1} {3}} u}$

scriviamo. è la densità di energia della radiazione elettromagnetica. Adolfo Bartoli seppe anche giustificare termodinamicamente l'esistenza di una pressione di irraggiamento nel 1876 dimostrando che in caso di inesistenza sarebbe violata la seconda legge della termodinamica. Tuttavia, il prefattore 1/3 segue solo da considerazioni elettrodinamiche. ${\ displaystyle u}$

Se inserisci questa espressione for nella relazione precedente e consideri che l'intera energia in un volume può essere scritta come , allora segue l'integrazione ${\ stile di visualizzazione p}$${\ displaystyle U = u \ cdot V}$

${\ displaystyle u = a \ cdot T ^ {4}}$

o per tutta l'energia

${\ displaystyle U = aT ^ {4} V.}$

Tuttavia, la costante di integrazione rimane inizialmente indefinita. Doveva essere determinato attraverso esperimenti, come quello di Joseph Stefan. Fu solo nella meccanica quantistica che divenne evidente che questa è una quantità composta da altre costanti naturali . Nel 1900, 21 anni dopo la legge di Stefan-Boltzmann, Max Planck scoprì la legge della radiazione di Planck , dal suo nome , da cui la legge di Stefan-Boltzmann segue semplicemente attraverso l' integrazione su tutte le direzioni e lunghezze d'onda . Con l'introduzione del quanto d'azione , la legge della radiazione di Planck riuscì anche a far risalire per la prima volta la costante di Stefan-Boltzmann alle costanti naturali fondamentali. ${\ stile di visualizzazione a}$${\ stile di visualizzazione h}$

Nella letteratura precedente, la quantità è indicata anche come costante di Stefan-Boltzman. La costante portata sotto questo nome dal CODATA sta al di sopra, tuttavia, della cosiddetta costante di radiazione ${\ stile di visualizzazione a}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ stile di visualizzazione a}$

${\ displaystyle a = {\ frac {4 \ sigma} {c}} = {\ frac {8 \ pi ^ {5} k _ {\ mathrm {B}} ^ {4}} {15c ^ {3} h ^ {3}}}}$

in una relazione; espresso in numeri:

${\ displaystyle a = 7 {,} 567 \ cdot 10 ^ {- 16} \; {\ text {J}} \, {\ text {m}} ^ {- 3} \, {\ text {K}} ^ {- 4}}$

Derivazione dalla meccanica quantistica

La derivazione si basa sulla densità di radiazione spettrale di un corpo nero e la integra sull'intero semispazio in cui irradia l'elemento di superficie in esame, nonché su tutte le frequenze:

${\ displaystyle M ^ {o} (T) = \ int \ limiti _ {\ nu = 0} ^ {\ infty} \ int \ limiti _ {\ text {mezzo spazio}} {\ frac {2h \ nu ^ {3 }} {c ^ {2}}} {\ frac {1} {e ^ {\ sinistra ({\ frac {h \ nu} {k _ {\ mathrm {B}} T}} \ destra)} - ​​1} } \, \ cos \ beta \, \ sin \ beta \, \ mathrm {d} \ beta \, \ mathrm {d} \ varphi \, \ mathrm {d} \ nu}$

Secondo la legge di Lambert, mentre il fattore coseno tiene conto del fatto che, per radiazione in uno qualsiasi degli angoli e solo su questa direzione, la proiezione perpendicolare data la direzione della superficie si verifica come area effettiva del fascio. Il termine è un elemento angolare solido . ${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ cos \ beta \, \ mathrm {d} A}$${\ displaystyle \ mathrm {d} A}$${\ displaystyle \ sin \ beta \, \ mathrm {d} \ beta \, \ mathrm {d} \ varphi}$

Poiché il corpo nero è sostanzialmente un radiatore diffuso e la sua radianza spettrale è quindi indipendente dalla direzione, l'integrale, effettuato sul semispazio, dà il valore . Per l'integrazione sulle frequenze è ${\ displaystyle \ pi}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {3}} {e ^ {x} -1}} \, \ mathrm {d} x = {\ frac {\ pi ^ {4}} {15}}}$

da osservare. Se la radiazione specifica così ottenuta è integrata anche sulla superficie radiante, si ottiene la legge di Stefan-Boltzmann nella forma data sopra. ${\ stile di visualizzazione M ^ {o} (T)}$

Per il caso unidimensionale e bidimensionale, qui devono essere risolti altri due integrali. Si applica quanto segue:

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {n}} {e ^ {x} -1}} \, dx = \ zeta (n + 1) \ Gamma {\ left (n + 1 \ destra)} = \ zeta (n + 1) \ cdot n!}$

Ecco la funzione zeta di Riemann e la funzione gamma . Quindi segue per${\ displaystyle \ zeta (\ cdot)}$${\ displaystyle \ Gamma (\ cdot)}$${\ stile di visualizzazione n = 1}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {x} {e ^ {x} -1}} \, \ mathrm {d} x = \ zeta (2) \ cdot 1! = { \ frac {\ pi ^ {2}} {6}}}$

e segue per ${\ stile di visualizzazione n = 2}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {2}} {e ^ {x} -1}} \, \ mathrm {d} x = \ zeta (3) \ cdot 2! = 2 \ cdot \ zeta (3) \ circa 2 {,} 40411.}$

Questi integrali sono z. B. risolto con abili trasformazioni o con l'aiuto della teoria delle funzioni .

Corpi non neri

La legge di Stefan-Boltzmann nella forma sopra si applica solo ai corpi neri. Se esiste un corpo non nero che irradia in maniera indipendente dalla direzione (cosiddetto radiatore di Lambert ) e la cui emissività ha lo stesso valore per tutte le frequenze (cosiddetto corpo grigio ), allora è ${\ displaystyle \ varepsilon (T)}$

${\ displaystyle P = \ varepsilon (T) \ cdot \ sigma \ cdot A \ cdot T ^ {4}}$

la potenza radiante da esso emessa. L'emissività è l'emissività media ponderata su tutte le lunghezze d'onda e la funzione di ponderazione è la distribuzione dell'energia del corpo nero. Scatter tra 0,012 e 0,98, a seconda del materiale . Se l'emissività dipende dalla lunghezza d'onda, la distribuzione della radiazione cambia non solo a causa della variazione della distribuzione di Planck. A causa di questa dipendenza aggiuntiva dalla temperatura, la potenza di radiazione totale non è più strettamente proporzionale alla quarta potenza della temperatura assoluta. ${\ displaystyle \ varepsilon (T)}$${\ displaystyle \ varepsilon (T)}$

Per un radiatore in cui non è data l'indipendenza direzionale o l'indipendenza dalla frequenza dell'emissione, l'integrale deve essere calcolato individualmente sulla base delle leggi pertinenti per determinare l' emissività totale emisferica ε (T) . Molti corpi si discostano solo leggermente dal radiatore Lambert ideale; Se l'emissività varia solo leggermente nell'intervallo di frequenza in cui il corpo emette una parte notevole della sua potenza di radiazione, la legge di Stefan-Boltzmann può essere applicata almeno approssimativamente.

esempio

Confronto del comportamento di radiazione del sole e di un corpo nero. La temperatura effettiva del sole è 5777 K.

Al di fuori dell'atmosfera terrestre ad una distanza dal sole alla terra, una superficie rivolta al sole riceve un irraggiamento di ( costante solare ). Determinare la temperatura della superficie del sole assumendo che il sole sia un corpo nero con un'approssimazione sufficiente. Il raggio del sole è la distanza media tra la terra e il sole . ${\ displaystyle S = 1361 \, \ mathrm {W / m ^ {2}}}$${\ stile di visualizzazione T}$${\ displaystyle R = 6 {,} 963 \ cdot 10 ^ {8} \ mathrm {m}}$${\ displaystyle D = 1 {,} 496 \ cdot 10 ^ {11} \ mathrm {m}}$

La potenza radiante emessa dalla superficie solare penetra in un guscio sferico del raggio, che è disposto concentricamente attorno al sole, con l'intensità di irraggiamento , cioè totale ( luminosità del sole). Secondo la legge di Stefan-Boltzmann, la temperatura della superficie radiante è ${\ stile di visualizzazione P}$${\ stile di visualizzazione D}$${\ stile di visualizzazione S}$${\ displaystyle P = 4 \ pi D ^ {2} \ volte S = 3 {,} 845 \ volte 10 ^ {26} \ mathrm {W}}$

${\ displaystyle T = {\ sqrt [{4}] {\ frac {P} {\ sigma A}}} = {\ sqrt [{4}] {\ frac {S \ cdot 4 \ pi D ^ {2} } {\sigma\cdot 4\pi R^{2}}}} = {\sqrt[{4}] {\frac {S\cdot D^{2}} {\sigma\cdot R^{2}} }} = {\ sqrt [{4}] {\ frac {1 \, 361 \ volte 2 {,} 238 \ volte 10 ^ {22}} {5 {,} 670 \ volte 10 ^ {- 8} \, \ cdot \, 4 {,} 844 \ cdot 10 ^ {17}}}} \; \ mathrm {K} = 5 \, 771 \, \ mathrm {K}.}$

La temperatura della superficie solare così determinata è detta temperatura effettiva. È la temperatura che dovrebbe avere un corpo nero delle stesse dimensioni per emettere la stessa potenza di radiazione del sole.

Guarda anche

La legge di Stefan-Boltzmann fa un'affermazione sulla potenza di radiazione totale emessa da un corpo nero a tutte le frequenze. La divisione in singole frequenze o lunghezze d'onda è descritta dalla legge della radiazione di Planck .

La legge di spostamento di Wien collega la temperatura di un corpo nero con la lunghezza d'onda più irradiata.

link internet

Evidenze individuali

1. ↑ Costante di Stefan-Boltzmann. National Institute of Standards and Technology, consultato il 30 luglio 2019 .  Valore per .${\ displaystyle \ sigma}$
2. ^ Risoluzione 1 del 26° CGPM. Sulla revisione del Sistema Internazionale di Unità (SI). Bureau International des Poids et Mesures , 2018, accesso 14 aprile 2021 .  
3. ↑ J. Stefan: Sulla relazione tra radiazione termica e temperatura. In: Relazioni del convegno della classe di scienze matematiche e naturali dell'Accademia Imperiale delle Scienze. Vol. 79 (Vienna 1879), pp. 391-428.
4. ↑ L. Boltzmann: Derivazione della legge di Stefan, relativa alla dipendenza della radiazione termica dalla temperatura dalla teoria della luce elettromagnetica. In: Annali di fisica e chimica. Vol. 22, 1884, pp. 291-294 doi: 10.1002 / ep.18842580616 .
5. ↑ IP Bazarov: termodinamica. Dt. Verl. Der Wiss., Berlino 1964, pagina 130.
6. ↑ Legge di Planck (Appendice) in lingua inglese Wikipedia, 30 maggio 2009 (a cura di DumZiBoT alle 08:56) .
7. ↑ Stefan – Legge di Boltzmann (Appendice) in lingua inglese Wikipedia, 30 marzo 2009 (a cura di JAnDbot alle 17:59) .