Curva di Lorenz

Uso della curva di Lorenz per illustrare la distribuzione del reddito : Ad esempio (nella curva solida) il 50% più povero delle famiglie ha circa il 27% del reddito totale; l'80% più povero ha circa il 60% del proprio reddito. Naturalmente, questo mostra anche che il restante 40% del reddito proviene dal 20% più ricco delle famiglie. La curva tratteggiata mostra una distribuzione più diseguale del reddito: qui il 50% più povero ha solo il 15% circa del reddito.

La curva di Lorenz (anche: curva di Lorenz ) è stata sviluppata nel 1905 dallo statistico ed economista americano Max Otto Lorenz (1876-1959). Mostra graficamente le distribuzioni statistiche e illustra l'entità della disparità (disuguaglianza) o della concentrazione relativa all'interno della distribuzione; pertanto è anche chiamata curva di disparità . Le statistiche ufficiali utilizzano la curva di Lorenz per illustrare la distribuzione del reddito in un paese; Questi calcoli si basano su un elenco di redditi o beni individuali, ordinati in ordine crescente da sinistra a destra (vedere anche: Pen's Parade ).

Struttura e spiegazione

La curva di Lorenz è una funzione nell'unità quadrata del 1 ° quadrante. Mostra quali parti della somma totale delle funzionalità sono attribuibili a quali parti del set di base con i portatori di funzionalità. L' asse-( ascissa ) mostra le proporzioni del numero totale di elementi (ad esempio: popolazione) e l' asse -asse ( ordinata ) mostra le proporzioni della somma totale degli elementi (ad esempio : reddito). Prima di tutto, i dati vengono ordinati in ordine crescente - a partire dalla proporzione più bassa del totale delle caratteristiche - e quindi cumulati ("sommati"). Questo crea il caratteristico "ventre" della curva di Lorenz al di sotto della diagonale, che riflette l'entità della distribuzione irregolare. Ogni punto sulla curva di Lorenz sta per una dichiarazione come "il 20% più povero di tutte le famiglie riceve il 10% del reddito totale" (vedi: principio di Pareto ). Una distribuzione equa perfetta del reddito sarebbe una distribuzione del reddito in cui tutte le persone hanno lo stesso reddito. In questo caso il fondo della società avrebbe sempre il reddito. Questo può essere chiaramente illustrato da una linea retta ; essi sono chiamati la perfetta linea di perfetta uguaglianza. Al contrario, la disuguaglianza perfetta sarebbe una distribuzione in cui una persona ha tutto il reddito e tutte le altre persone non hanno reddito. In questo caso, la curva sarebbe per tutti e in questa curva è come retta di disuguaglianza perfetta (linea di disuguaglianza perfetta) riferita. ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle N \, \%}$${\ displaystyle N \, \%}$${\ displaystyle y = x}$ ${\ displaystyle y = 0 \, \%}$${\ displaystyle x <100 \, \%}$${\ displaystyle y = 100 \, \%}$${\ displaystyle x = 100 \, \% \,.}$

Il coefficiente di Gini è la proporzione dell'area tra la linea di distribuzione uniforme perfetta e la curva di Lorenz osservata dell'area sotto la linea di distribuzione uniforme. Il coefficiente di Gini è quindi un numero compreso tra 0 e 1; più è alto, più disomogenea è la distribuzione.

calcolo

Custodia discreta

La curva di Lorenz è definita come una curva lineare definita in sezioni (cioè come un percorso poligonale ) attraverso i punti . Se le quote nella totalità dei portatori di caratteristiche e le quote nella somma delle caratteristiche totali (per questi termini vedere sopra "Struttura e spiegazione"), allora le coordinate dei punti sono definite come: ${\ displaystyle (0 \ vert 0), \ left (u_ {1} \ vert v_ {1} \ right), \ left (u_ {2} \ vert v_ {2} \ right), \ ldots, \ left ( u_ {n} \ vert v_ {n} \ right), (1 \ vert 1)}$${\ displaystyle x_ {j}}$${\ displaystyle y_ {j}}$${\ displaystyle i = 1, \ ldots, n}$

${\ displaystyle u_ {i} = \ sum \ limits _ {j = 1} ^ {i} x_ {j}}$ .

e

${\ displaystyle v_ {i} = \ sum \ limits _ {j = 1} ^ {i} y_ {j}}$ .

Caduta costante / continua

Come regola generale

La curva di Lorenz può spesso essere rappresentata da una funzione , con l'ascissa e l' ordinata tracciate. ${\ displaystyle L (F)}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle L}$

Per una popolazione di dimensione con una sequenza di valori , indicizzati in ordine crescente , la curva di Lorenz è la funzione lineare in sezione continua che collega i punti ( , ) , dove , è e per : ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle y_ {i}}$${\ displaystyle i = 1,2, \ ldots, n}$${\ displaystyle \ sinistra (y_ {i} \ leq y_ {i + 1} \ destra) \ ,,}$${\ displaystyle F_ {i}}$${\ displaystyle L_ {i}}$${\ displaystyle i = 0,1, \ ldots, n}$${\ displaystyle F_ {0} = 0}$${\ displaystyle L_ {0} = 0}$${\ displaystyle i = 1,2, \ ldots, n}$

${\ displaystyle F_ {i} = {\ frac {i} {n}} \ ,,}$

${\ displaystyle S_ {i} = \ sum \ limits _ {j = 1} ^ {i} y_ {j} \ ,,}$

${\ displaystyle L_ {i} = {\ frac {S_ {i}} {S_ {n}}} \,.}$

È anche chiamato coefficiente di asimmetria di Lorenz . ${\ displaystyle S_ {i}}$

Per una funzione di probabilità discreta sono , i punti con probabilità diverse da zero indicate in ordine crescente . La curva di Lorenz è la funzione lineare continua, definita in sezioni, che collega i punti ( , ) , tra loro, dove , è e per : ${\ displaystyle f (y)}$${\ displaystyle y_ {i}}$${\ displaystyle i = 1,2, \ ldots, n}$${\ displaystyle \ sinistra (y_ {i} <y_ {i + 1} \ destra)}$${\ displaystyle F_ {i}}$${\ displaystyle L_ {i}}$${\ displaystyle i = 0,1, \ ldots, n}$${\ displaystyle F_ {0} = {0}}$${\ displaystyle L_ {0} = 0}$${\ displaystyle i = 1,2, \ ldots, n}$

${\ displaystyle F_ {i} = \ sum \ limits _ {j = 1} ^ {i} f (y_ {j}) \ ,,}$

${\ displaystyle S_ {i} = \ sum \ limits _ {j = 1} ^ {i} f (y_ {j}) \, y_ {j} \ ,,}$

${\ displaystyle L_ {i} = {\ frac {S_ {i}} {S_ {n}}} \,.}$

Per la distribuzione di Laplace , cioè per tutti , si ottengono esattamente le formule di cui sopra per e . ${\ displaystyle f (y_ {i}) = {\ frac {1} {n}}}$${\ displaystyle i = 1 \ ldots, n}$${\ displaystyle F_ {i}}$${\ displaystyle L_ {i}}$

Per una funzione di densità di probabilità con la funzione di distribuzione di probabilità cumulativa , la curva di Lorenz è definita da: ${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle F (x)}$${\ displaystyle L [F (x)]}$

${\ displaystyle L [F (x)] = {\ frac {\ int \ limits _ {- \ infty} ^ {x} t \, f (t) \, \ mathrm {d} t} {\ int \ limits _ {- \ infty} ^ {\ infty} t \, f (t) \, \ mathrm {d} t}} \,.}$

Per una funzione di distribuzione cumulativa con la funzione inversa , la curva di Lorenz è data da: ${\ displaystyle F (x)}$${\ displaystyle x (F)}$${\ displaystyle L (F)}$

${\ displaystyle L (F) = {\ frac {\ int \ limits _ {0} ^ {F} x (F_ {1}) \, \ mathrm {d} F_ {1}} {\ int \ limits _ { 0} ^ {1} x (F_ {1}) \, \ mathrm {d} F_ {1}}} \,.}$

La funzione inversa non potrebbe esistere perché la funzione di distribuzione cumulativa ha salti ( discontinuità ) o intervalli di valori costanti. L'equazione precedente resta valida se si definisce più in generale dalla seguente formula:${\ displaystyle x (F)}$${\ displaystyle x (F_ {1})}$${\ displaystyle x (F_ {1}) = \ inf \ sinistra \ {y \ due punti F (y) \ geq F_ {1} \ right \} \,.}$

Definizione di Gastwirths

Considera una variabile casuale non negativa con la funzione quantile normalizzata associata . Dopo Joseph Lewis Gastwirth la cifra è ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Q ^ {*}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} L \ colon [0,1] \ rightarrow & [0,1] \\\ alpha \ mapsto & L (\ alpha) = \ int \ limits _ {0} ^ {\ alpha } Q ^ {*} ({\ tilde {\ alpha}}) \ mathrm {d} {\ tilde {\ alpha}} \ end {allineato}}}$

indicata come curva di Lorenz (continua) di o per la distribuzione di .${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$

caratteristiche

La curva di Lorenz ha le seguenti proprietà:

• Inizia sempre all'origine delle coordinate e termina nel punto .${\ displaystyle (0 \ vert 0)}$${\ displaystyle (1 \ vert 1)}$
• La derivata della curva è monotonicamente crescente, motivo per cui la curva stessa è convessa e si trova al di sotto della diagonale.
• La curva di Lorenz è continua sull'intervallo aperto (0.1), nel caso discreto anche lineare a tratti .

La curva di Lorenz non è definita per un valore medio della distribuzione di probabilità pari a zero o infinito.

La curva di Lorenz per una distribuzione di probabilità è una funzione continua. Ma le curve di Lorenz delle funzioni discontinue possono essere formulate come valori limite (Limes) delle curve di Lorenz delle distribuzioni di probabilità - come la linea di disuguaglianza perfetta (linea di disuguaglianza perfetta).

I dati di una curva di Lorenz possono essere riassunti dal coefficiente di Gini e dal coefficiente di asimmetria di Lorenz.

La curva di Lorenz è invariante con scala positiva. Se è una variabile casuale , allora la variabile casuale ha la stessa curva di Lorenz di ogni numero positivo , per cui la curva di Lorenz di una variabile casuale è ovviamente intesa come quella della distribuzione associata. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle cX}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle X}$

La curva di Lorenz non è invariante sotto le traslazioni, cioè sotto uno spostamento costante dei valori. Se una variabile casuale con una curva di Lorenz e la media è, si ottiene la seguente formula per la curva di Lorenz della variabile casuale spostata , dove una costante fissa è: ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle L_ {X} (F)}$${\ displaystyle \ mu _ {X}}$${\ displaystyle L_ {X + c} (F)}$${\ displaystyle X + c}$${\ displaystyle c \ neq - \ mu _ {X}}$

${\ displaystyle F-L_ {X + c} (F) = {\ frac {\ mu _ {X}} {\ mu _ {X} + c}} [F-L_ {X} (F)]}$

Per una funzione di distribuzione cumulativa con la media e la funzione inversa (generalizzata) vale per ciascuna con${\ displaystyle F (x)}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle x (F)}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle 0 <F <1 \ due punti}$

• Se la curva di Lorenz è differenziabile, vale quanto segue:

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} L (F)} {\ mathrm {d} F}} = {\ frac {x (F)} {\ mu}} \,;}$

• Se la curva di Lorenz è duplice differenziabile, allora la funzione di densità di probabilità esiste a questo punto e:${\ displaystyle f (x)}$

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} L (F)} {\ mathrm {d} F ^ {2}}} = {\ frac {1} {\ mu f [x (F) ]}} \,;}$

• Se è differenziabile in modo continuo, la tangente di è parallela alla retta perfetta di uguaglianza nel punto . Questo è anche il punto in cui la discrepanza di uguaglianza , la distanza verticale tra la curva di Lorenz e la retta di uguaglianza perfetta, è maggiore. L'entità della discrepanza è pari alla metà della deviazione media relativa:${\ displaystyle L (F)}$${\ displaystyle L (F)}$${\ displaystyle F (\ mu)}$${\ displaystyle FL (F)}$

${\ displaystyle F (\ mu) -L [F (\ mu)] = {\ frac {\ text {deviazione media}} {2 \ mu}} \,.}$

La curva di Lorenz di una variabile aleatoria si specchia nel punto in cui si passa da a , cioè con i termini introdotti sopra: ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle (0,5 \ vert 0,5)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle -X}$

${\ displaystyle L _ {- X} (F) = 1-L_ {X} (1-F) \,.}$

Casi estremi

Più uniformemente la somma delle caratteristiche è distribuita tra i vettori, più la curva di Lorenz si avvicina alla diagonale. Nel caso estremo di uguale distribuzione economica (distribuzione statistica a un punto) coincide con essa.

In caso di maggiore disparità, la curva si sposta verso il basso in direzione dell'ascissa. Per il caso estremo di massima distribuzione irregolare (un portatore di caratteristiche combina l'intera somma delle caratteristiche) la curva di Lorenz corre come una linea sull'ascissa e conduce da lì al punto . ${\ displaystyle 1 - {\ tfrac {1} {n}}}$${\ displaystyle (1 \ vert 1)}$

Dati classificati in modo costante e discreto

La forma esatta della curva di Lorenz dipende dal tipo di dati per l'elemento. In linea di principio, i dati continui (vedere l'immagine di esempio sopra) devono essere distinti dai dati discreti. Nel secondo caso, la curva di Lorenz è una retta passante per i punti . ${\ displaystyle \ sinistra (F_ {j} \ vert L_ {j} \ destra)}$

Misura della concentrazione relativa (disparità)

La curva di Lorenz offre un modo grafico di visualizzare l'entità della disparità all'interno di una distribuzione. Più la curva si curva verso il basso, maggiore è la disparità (vedere la sezione Casi estremi ). Nel caso in cui due curve di Lorenz si intersechino, tuttavia, il grafico non può più essere utilizzato per determinare chiaramente quale presenta la maggiore disparità. Anche la misurazione tramite grafica è troppo imprecisa. I valori precisi sono forniti dal coefficiente di Gini e dal coefficiente di variazione . Il coefficiente di Gini è direttamente correlato alla curva di Lorenz: è il doppio dell'area compresa tra la curva di Lorenz e la diagonale nel quadrato unitario.

Tabella di esempio per dati classificati in modo discreto

Una raccolta dati per 5 classi, denominate con un indice , ha portato alle frequenze relative (quota dei portatori caratteristici della classe sul totale dei portatori caratteristici) e alle proporzioni della somma caratteristica , che sono assegnate alla classe , nella tabella sottostante. Da questo determiniamo ${\ displaystyle j = 1, \ ldots, n}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle f_ {j}}$${\ displaystyle h_ {j}}$${\ displaystyle j}$

• ${\ displaystyle F_ {j} \ due punti}$ cumulativo (frequenza relativa),
• ${\ displaystyle L_ {j} \ colon}$cumulativo (disparità) .${\ displaystyle h_ {j}}$

indice ${\ displaystyle j}$	Frequenza relativa ${\ displaystyle f_ {j}}$	Frequenza relativa cumulativa ${\ displaystyle F_ {j}}$	Disparità ${\ displaystyle h_ {j}}$	Disparità cumulativa ${\ displaystyle L_ {j}}$
1	0.2	0.2	0.00	0.00
2	0.4	0.6	0,05	0,05
3	0.1	0.7	0.15	0.20
4 °	0.1	0.8	0.30	0.50
5	0.2	1.0	0.50	1.00

Spiegazione:

La curva di Lorenz viene creata tracciando sull'ascissa e sull'ordinata e collegando i punti con una linea. ${\ displaystyle F_ {j}}$${\ displaystyle L_ {j}}$

L'articolo sulla distribuzione di Pareto contiene un altro esempio di curva di Lorenz.

Teorema di Rothschild e Stiglitz

Due distribuzioni sono dati e con la curva di Lorenz della sovrastante la curva di Lorenz di Allora e solo allora si applica ad ogni simmetrico e quasi-convessa funzione${\ displaystyle \ left (x_ {1}, \ ldots, x_ {n} \ right)}$${\ displaystyle \ left (x_ {1} ^ {*}, \ ldots, x_ {n} ^ {*} \ right)}$${\ displaystyle \ sum x_ {v} = \ sum x_ {v} ^ {*} \,.}$${\ displaystyle \ left (x_ {1}, \ ldots, x_ {n} \ right)}$${\ displaystyle \ left (x_ {1} ^ {*}, \ ldots, x_ {n} ^ {*} \ right) \,.}$ ${\ displaystyle F \ due punti}$

${\ displaystyle F \ left (x_ {1}, \ ldots, x_ {n} \ right) \ leq F \ left (x_ {1} ^ {*}, \ ldots, x_ {n} ^ {*} \ right ) \,.}$

Conclusione: se due curve di Lorenz si intersecano, dipende dalla scelta della rispettiva funzione simmetrica e quasi convessa quale delle due curve è da descrivere come quella con la maggiore disuguaglianza . ${\ displaystyle F}$

lunghezza

La lunghezza della curva di Lorenz può essere utilizzata anche come misura della disparità (misura della concentrazione relativa) . L'intervallo di valori è valido per l' intervallo di definizione${\ displaystyle L_ {L}}$${\ displaystyle \ mathbb {W} _ {L_ {L}} = \ left \ {L \ in \ mathbb {R} {\ bigg \ vert} {\ sqrt {2}} \ leq L \ leq 2 \ right \ } \,;}$${\ displaystyle \ mathbb {D} _ {L_ {L}} = \ left \ {x \ in \ mathbb {R} \ vert 0 \ leq x \ leq 1 \ right \}.}$

Custodia discreta

Come suggerisce il nome, questo può essere derivato dalla curva di Lorenz discreta accumulando le lunghezze delle sezioni del percorso. Quanto segue si applica alla lunghezza della curva di Lorenz discreta:

${\ displaystyle {\ begin {align} L_ {L} & = {\ sqrt {{F \ left (x_ {1} \ right)} ^ {2} + {g \ left (x_ {1} \ right)} ^ {2}}} + {\ sqrt {{\ sinistra [F \ sinistra (x_ {2} \ destra) -F \ sinistra (x_ {1} \ destra) \ destra]} ^ {2} + {\ sinistra [g \ left (x_ {2} \ right) -g \ left (x_ {1} \ right) \ right]} ^ {2}}} + \ ldots + {\ sqrt {{\ left [F \ left ( x_ {n} \ right) \ right] -F \ left (x_ {n-1} \ right)} ^ {2} + {\ left [g \ left (x_ {n} \ right) -g \ left ( x_ {n-1} \ right) \ right]} ^ {2}}} \\ & = \ sum \ limits _ {j = 1} ^ {n-1} {\ sqrt {{\ left [F \ left (x_ {j + 1} \ right) -F \ left (x_ {j} \ right) \ right]} ^ {2} + {\ left [g \ left (x_ {j + 1} \ right) -g \ left (x_ {j} \ right) \ right]} ^ {2}}} \ ,. \ end {allineato}}}$

In caso di distribuzione uniforme, c'è una concentrazione assoluta su un solo valore caratteristico${\ displaystyle L_ {L} = {\ sqrt {1 ^ {2} + 1 ^ {2}}} = {\ sqrt {2}} \,.}$${\ displaystyle L_ {L} = 1 ^ {2} + 1 ^ {2} = 2 \,.}$

Caduta costante / continua

La lunghezza della curva di Lorenz costante / continua, differenziabili [tra i punti e ] è calcolata dalla prima derivata della funzione della curva di Lorenz come segue: ${\ displaystyle A (0 \ vert 0)}$${\ displaystyle B (1 \ vert 1)}$${\ displaystyle L (F)}$

${\ displaystyle L_ {L} (a) = \ int \ limits _ {0} ^ {a} {\ sqrt {1+ \ left [L '(F) \ right] ^ {2}}} \ cdot \ mathrm {d} F}$

con . ${\ displaystyle a \ in [0,1]}$

Applicazioni

Economia

In economia , la curva di Lorenz viene utilizzata per rappresentare graficamente la funzione di distribuzione cumulativa della distribuzione di probabilità empirica della ricchezza; è un grafico che mostra il grado di distribuzione assunto per il minore dei valori. È spesso usato per mostrare una distribuzione del reddito, con la più bassa delle famiglie che illustra quanto sia grande la proporzione del reddito totale che possiedono. La quota di famiglie è tracciata in ascissa, la quota di reddito in ordinata. Può anche essere utilizzato per mostrare la distribuzione del reddito. In questo senso, molti economisti vedono la curva di Lorenz come una misura della disuguaglianza sociale (misura della disuguaglianza sociale). È stato sviluppato nel 1905 da Max O. Lorenz per illustrare la disuguaglianza nella distribuzione del reddito. ${\ displaystyle y \, \%}$${\ displaystyle x \, \%}$${\ displaystyle y \, \%}$

Oltre a illustrare la distribuzione del reddito, la curva di Lorenz viene utilizzata anche per rappresentare il potere di mercato o le distribuzioni spaziali (confronta: segregazione ).

La curva di Lorenz viene utilizzata anche nell'analisi logistica ABC , in cui la curva di Lorenz illustra la distribuzione delle merci, disposte secondo proprietà di classificazione (es. Valore) e quantità di consumo.

La curva di Lorenz può essere utilizzata anche per i modelli di business, ad esempio nella finanza al consumo, per determinare il mancato pagamento reale alla scadenza (insolvenza) del consumatore con i punteggi di rischio / credito previsti peggiori. ${\ displaystyle Y \, \%}$${\ displaystyle X \, \%}$

ecologia

Il concetto della curva di Lorenz è utile per descrivere la disuguaglianza tra il numero di individui in ecologia e viene utilizzato negli studi di ricerca sulla biodiversità confrontando le proporzioni cumulative delle specie animali con le proporzioni cumulative degli individui.

Concentrazione così come disparità

La disparità (curva di Lorenz) e la concentrazione (assoluta) (curva di concentrazione ) sono misure correlate, ma descrivono cose diverse. Mentre la curva di Lorenz mostra quali parti della somma delle caratteristiche (ordinate) sono attribuibili a quali parti del gruppo di portatori di caratteristiche (ascisse), la curva di concentrazione mostra quali parti della somma delle caratteristiche (ordinate) sono attribuibili a quali portatori di caratteristiche (ascisse) ). Ciò significa che la curva di Lorenz confronta le proporzioni con le proporzioni, la curva di concentrazione confronta le proporzioni con i numeri assoluti (ascisse). Quindi possono verificarsi contemporaneamente un'elevata disparità e una bassa concentrazione o un'elevata concentrazione e una bassa disparità. L'esempio seguente illustra la domanda:

Supponiamo che le aziende condividano un mercato. Nella tabella, i casi di disparità o concentrazione alta e bassa vengono giocati con numeri assoluti (fittizi): ${\ displaystyle x}$

	Elevata disparità	Disparità bassa
Concentrazione alta	${\ displaystyle \! \ x_ {1} = 90}$ ${\ displaystyle \! \ x_ {2} = x_ {3} = 5}$	${\ displaystyle \! \ x_ {1} = 34}$ ${\ displaystyle \! \ x_ {2} = x_ {3} = 33}$
Bassa concentrazione	${\ displaystyle \! \ x_ {1} = \ ldots = x_ {400} = 0 {,} 9}$ ${\ displaystyle \! \ x_ {401} = \ ldots = x_ {1000} = 0 {,} 01}$	${\ displaystyle \! \ x_ {1} = \ ldots = x_ {400} = 0 {,} 9}$ ${\ displaystyle \! \ x_ {401} = \ ldots = x_ {1000} = 0 {,} 89}$

letteratura

• Joseph Lewis Gastwirth: una definizione generale della curva di Lorenz. In: Econometrica , Vol. 39, No. 6, New York, novembre 1971, pp. 1037-1039.
• Josef Bleymüller, Günther Gehlert, Herbert Gülicher: Statistics for economists. Corso di studio WiSt. 10a edizione, Verlag Franz Vahlen, Monaco 1996. ISBN 978-3-8006-2081-4 (3-8006-2081-2). 244 pagg.

link internet

• Günter Faes: chiara descrizione della curva di Lorenz e del coefficiente di Gini , faes.de

Prove individuali

1. ^ Duden: curva di Lorenz . In: Duden Economy dalla A alla Z: conoscenze di base per la scuola e lo studio, il lavoro e la vita quotidiana. 4a edizione Bibliographisches Institut, Mannheim 2009 (edizione con licenza: Agenzia federale per l'educazione civica, Bonn)
2. ↑ ^{a b} Thomas Augustin, Sebastian Petry: Economic and Social Statistics ( Memento of the original from February 1, 2012 in the Internet Archive ) Info: Il link @ 1@ 2Modello: Webachiv / IABot / www.statistik.lmu.de all'archivio è stato inserito automaticamente e non è stato ancora verificato. Si prega di controllare l'originale e il collegamento all'archivio secondo le istruzioni, quindi rimuovere questo avviso. . (PDF file; 216 kB), LMU, Monaco 2010. P. 45 ff.
3. ↑ Joseph Lewis Gastwirth: A General Definition of the Lorenz Curve. In: Econometrica , Vol. 39, No. 6, New York, novembre 1971, pp. 1037-1039.
4. ↑ Karl Mosler, Friedrich Schmid: Statistiche descrittive e statistiche economiche. Springer, Berlino / Heidelberg 2009, ISBN 978-3-642-01556-4 .
5. ^ ^{A b} Christian Damgaard, Jacob Weiner: Describing inequality in plant size or fecundity. 4a ed. Ecology, 2000. Vol. 81. doi : 10.1890 / 0012-9658 (2000) 081 [1139: DIIPSO] 2.0.CO; 2 pp. 1139-1142.
6. ↑ Arthur O'Sullivan, Steven M. Sheffrin: Economics: Principles in action . Pearson Prentice Hall, Upper Saddle River (New Jersey 07458) 2003. ISBN 0-13-063085-3 . P. 349 ss.
7. ↑ Lieven Wittebolle et al.: L'uniformità iniziale della comunità favorisce le funzioni in condizioni di stress selettivo. 7238. Ed. Nature, 2009. Vol. 458. pp. 623-626. doi: 10.1038 / nature07840 . PMID 19270679 .