Ipotesi di Continuum

Lo spessore del continuo rimane indefinito in ZFC.

L' ipotesi del continuo fu stabilita nel 1878 dal matematico Georg Cantor e contiene una congettura sullo spessore del continuo , cioè l'insieme dei numeri reali. Dopo una lunga storia che si estende fino agli anni '60, questo problema si è rivelato indecidibile, cioè gli assiomi della teoria degli insiemi non consentono una decisione su questa questione.

dichiarazione

Ipotesi del continuo semplice

La cosiddetta ipotesi del continuo semplice CH ( ipotesi del continuo inglese ) afferma:

Non esiste un insieme non numerabile di numeri reali la cui potenza sia inferiore a quella dell'insieme di tutti i numeri reali.

Espresso diversamente:

Non esiste un insieme il cui potere risieda tra il potere dei numeri naturali e il potere dei numeri reali.

Se si denota, come al solito, il numero cardinale (cardinalità) dei numeri naturali con (vedi funzione Aleph ), il seguente numero cardinale con e il numero cardinale dei numeri reali con , allora l'ipotesi del continuo è formalmente chiamata: ${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$${\ displaystyle \ aleph _ {1}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {c}}}$

${\ displaystyle {\ mathfrak {c}} = \ aleph _ {1}}$.

Si può anche dimostrare che lo spessore del continuum corrisponde allo spessore dell'insieme di potenze indicato da . È quindi una formulazione frequente dell'ipotesi del continuo ${\ displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0}}}$${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$

${\ displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0}} = \ aleph _ {1}}$.

Ipotesi del continuo generalizzato

L'ipotesi del continuo generalizzato (GCH, ipotesi del continuo generalizzato inglese ) afferma che per ogni insieme infinito si applica quanto segue: ${\ displaystyle X}$

Se un sovrainsieme è uguale ad un sottoinsieme del set potere di , quindi è di o troppo uguale.${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (X)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (X)}$

Se è disponibile anche l' assioma della scelta , allora ogni insieme ha un numero cardinale come cardinalità e l'ipotesi del continuo generalizzato dice che per ogni insieme infinito : ${\ displaystyle X}$

Non c'è nessun altro numero cardinale tra i numeri cardinali e .${\ displaystyle | X |}$${\ displaystyle | {\ mathcal {P}} (X) |}$

Usando la notazione Aleph, questo significa:

Per ogni numero ordinale è .${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {\ alpha}} = \ aleph _ {\ alpha +1}}$

Questo può essere scritto in modo ancora più compatto utilizzando la funzione Beth :

Per ogni numero ordinale è .${\ displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle \ aleph _ {\ alpha} = \ beth _ {\ alpha}}$

Poiché la prima formulazione non utilizza un assioma di scelta, le seguenti sembrano essere più deboli. Infatti, nella teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel (ZF) l'assioma della scelta segue dalla prima formulazione citata dell'ipotesi del continuo generalizzato secondo un teorema di Sierpiński . Pertanto le formulazioni fornite sono equivalenti sullo sfondo della teoria degli insiemi ZF.

soluzione

Il problema oggi è risolto, se non nel senso che i matematici si aspettavano:

Kurt Gödel ha dimostrato nel 1938 che l'ipotesi del continuo (CH) per la teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel con l' assioma della scelta (ZFC) è relativamente priva di contraddizioni, cioè se ZFC è esente da contraddizioni, il che è generalmente assunto, ma non dimostrato con l'aiuto di ZFC secondo il teorema di incompletezza di Gödel può essere, quindi "ZFC + CH" è anche privo di contraddizioni. A questo scopo, Gödel aveva esaminato la sottoclasse dei cosiddetti insiemi costruibili all'interno della teoria degli insiemi ZFC ed è stato in grado di dimostrare che si applicano anche tutti gli assiomi della teoria degli insiemi, ma che anche l'ipotesi del continuo è soddisfatta. Questo significa: ${\ displaystyle L}$${\ displaystyle L}$

L'ipotesi del continuo non può essere confutata dalla teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel .

Negli anni '60, Paul Cohen dimostrò usando il metodo della forzatura :

L'ipotesi del continuo non può essere dimostrata dalla teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel .

In altre parole: la negazione dell'ipotesi del continuo è anche relativamente priva di contraddizioni con ZFC; l'ipotesi del continuo è quindi del tutto indipendente da ZFC. Per questa prova, Cohen ha ricevuto la medaglia Fields nel 1966 .

Pertanto, l'ipotesi del continuo non può essere né provata né confutata nell'ambito degli assiomi standard della teoria degli insiemi. Può, così come la sua negazione, essere usato come un nuovo assioma . Questo lo rende uno dei primi esempi rilevanti del primo teorema di incompletezza di Gödel .

L'ipotesi del continuo generalizzato è anche indipendente dalla teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel con assioma di scelta (ZFC). Ciò deriva immediatamente dall'osservazione che la negazione di CH è ancor più una negazione di GCH e che GCH è valida anche nell'universo costruibile di Gödel . L' insieme di Silver limita le possibilità per il numero cardinale più piccolo , per il quale l'ipotesi del continuum generalizzato è ferita per la prima volta, a. L' insieme di Easton mostra che l'ipotesi del continuum generalizzato per cardinali regolari può essere violata in quasi tutti i modi. ${\ displaystyle L}$

importanza

Nella famosa lista di 23 problemi matematici presentati da David Hilbert per il Congresso Internazionale dei Matematici a Parigi nel 1900, l'ipotesi del continuo viene prima. Molti matematici avevano contribuito a risultati significativi nel contesto di questo problema; gran parte della cosiddetta teoria descrittiva degli insiemi odierna ruota attorno all'ipotesi del continuo.

Poiché i numeri reali rappresentano una costruzione fondamentale per molte scienze e poiché i matematici con un orientamento platonico pretendono di descrivere la realtà, il risultato dell'indecidibilità era insoddisfacente. Dopo la prova di indipendenza, sono stati continuati i tentativi di decidere l'ipotesi del continuo aggiungendo assiomi il più naturali possibile alla ZFC, ad esempio utilizzando assiomi che postulano l'esistenza di grandi numeri cardinali . Gödel era anche convinto che l'ipotesi potesse essere confutata in questo modo. Negli anni 2000, il teorico dell'insieme William Hugh Woodin credeva di aver trovato argomenti contro la validità dell'ipotesi del continuum. In seguito si allontanò da questo punto di vista e costruì un modello per i numeri cardinali, che chiamò Ultimate L , basato sull'universo costruibile di Gödel . In questo universo, l'ipotesi del continuo generalizzato è vera.${\ displaystyle L}$

Esempi applicativi

Occasionalmente, le affermazioni vengono fatte presumendo che l'ipotesi del continuum sia vera. Ad esempio, l' elevazione a potenza dei numeri cardinali con il GCH come prerequisito si traduce in notevoli semplificazioni. Tuttavia, è consuetudine menzionare esplicitamente questo requisito, mentre l'uso del sistema assioma ZFC o di sistemi equivalenti di solito non viene menzionato.

Esempio dalla teoria della misura

Di seguito, si presume che l'ipotesi del continuo (e l'assioma di scelta) sia vera e con il suo aiuto viene costruito un sottoinsieme non misurabile del piano . Si noti che questo è possibile anche senza l'ipotesi del continuo (ma con l'assioma della scelta). ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$

Sia il più piccolo numero ordinale non numerabile . Secondo l'ipotesi del continuo, c'è quindi una biiezione . L'ordine ordinale per 'm utilizzando questo bijection al trasferimento: Per applica: . ${\ displaystyle \ omega _ {1}}$${\ Displaystyle T \ colon [0,1] \ to \ omega _ {1}}$${\ displaystyle <}$${\ displaystyle \ omega _ {1}}$${\ displaystyle [0,1]}$${\ displaystyle x, y \ in [0,1]}$${\ Displaystyle x \ prec y: \ Leftrightarrow T (x) <T (y)}$

Be it . Con indichiamo la funzione indicatore dell'insieme , cioè con se e solo se . ${\ Displaystyle A: = \ {(x, y) \ in [0,1] \ times [0,1] \ mid x \ prec y \}}$${\ displaystyle 1_ {A}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle 1_ {A} \ due punti [0.1] \ times [0.1] \ to \ {0.1 \}}$${\ displaystyle 1_ {A} (x, y) = 1}$${\ displaystyle x \ prec y}$

Per ogni essere . Questo set è numerabile per tutti, poiché come numero ordinale numerabile ha solo un numero numerabile di predecessori. In particolare, quindi, è sempre un Lebesgue nullo set : . ${\ displaystyle y \ in [0,1]}$${\ displaystyle A_ {y}: = \ {x \ in [0,1] \ mid x \ prec y \}}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle T (y)}$${\ displaystyle A_ {y}}$${\ displaystyle \ lambda (A_ {y}) = 0}$

Definiamo ulteriormente l'importo per ciascuno ; il complemento di ciascuno di questi set è numerabile, quindi abbiamo . ${\ displaystyle x \ in [0,1]}$${\ displaystyle A ^ {x}: = \ {y \ in [0,1] \ mid x \ prec y \}}$${\ displaystyle \ lambda (A ^ {x}) = 1}$

Supponendo che sia misurabile, quindi utilizzando l' integrale di Lebesgue e la misura di Lebesgue${\ displaystyle 1_ {A}}$${\ displaystyle \ lambda}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} 1_ {A} (x, y) \, \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} y = \ int _ {0} ^ {1} \ lambda ({A_ {y}}) \, \ mathrm {d} y = 0,}$

ma

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} 1_ {A} (x, y) \, \ mathrm {d} y \, \ mathrm {d} x = \ int _ {0} ^ {1} \ lambda ({A ^ {x}}) \, \ mathrm {d} x = 1.}$

La funzione è quindi una funzione che, secondo il teorema di Tonelli, non può essere misurabile di Lebesgue, la quantità è quindi anche non misurabile. ${\ displaystyle 1_ {A}}$${\ displaystyle A}$

Esempio dalla teoria delle funzioni

Si considerano famiglie di intere funzioni , ovvero quelle funzioni che possono essere rappresentate completamente da una serie di potenze convergente . Con l'aiuto del teorema di identità si può mostrare la seguente affermazione: ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C}}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$

(1): se l'insieme di valori per ciascuno è finito, allora è finito.${\ displaystyle \ {f (z) \ mid f \ in {\ mathcal {F}} \}}$${\ displaystyle z \ in \ mathbb {C}}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$

Si noti che la funzione varia nell'insieme di valori e il punto è fisso, l'insieme di valori e anche il numero dei suoi elementi dipendono . Ora ci chiediamo se questa affermazione rimanga corretta se alla fine la sostituiamo con numerabile. Chiediamo la validità di ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle z}$

(2): se l'insieme di valori è numerabile per ciascuno , allora è numerabile.${\ displaystyle \ {f (z) \ mid f \ in {\ mathcal {F}} \}}$${\ displaystyle z \ in \ mathbb {C}}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$

Paul Erdős ha trovato la seguente risposta sorprendente:

L'affermazione (2) è vera per ogni famiglia di intere funzioni se e solo se l'ipotesi del continuo (CH) è falsa.

Esempio dalla geometria

Waclaw Sierpinski ha mostrato l'equivalenza dell'ipotesi del continuo con i teoremi della geometria elementare:

• C'è una decomposizione del quale , con ciascuno che ha intersezioni finite con ciascuna parallela agli assi coordinati o - cioè con linee parallele alla -axis, con quelle a -axis e con quelli al -axis (Sierpinski 1952).${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3} = A \ cup B \ cup C}$${\ displaystyle A, B, C}$${\ displaystyle x, y}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle z}$
• C'è una divisione del in due insiemi , per cui la verticale (parallela all'asse-) e l'orizzontale (parallela all'asse-) si intersecano nei punti più numerabili infiniti (Sierpinski 1919). O nella formulazione di Sierpinski nel suo libro sull'ipotesi del continuo: L'ipotesi del continuo è equivalente alla frase L'insieme dei punti sul piano è la somma di due insiemi , per cui al massimo può essere contato dall'insieme delle ordinate e che di ascisse.${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ displaystyle A, B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle A, B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$

letteratura

• Kurt Gödel : La coerenza dell'assioma della scelta e dell'ipotesi del continuo generalizzato con gli assiomi della teoria degli insiemi (= Annals of Mathematics Studies. Vol. 3). Princeton University Press, Princeton NJ et al.1940.
• Kurt Gödel: Qual è il problema del Continuum di Cantor? In: American Mathematical Monthly. Vol. 54, 1947, ISSN  0002-9890 , pagg. 515-525; Vol.55, 1947, p. 151: Errata corrige.
• Paul J. Cohen: Teoria degli insiemi e ipotesi del Continuum. Benjamin, Reading MA 1966 (Con una nuova introduzione di Martin Davis . Dover Publications, Mineola NY 2008, ISBN 978-0-486-46921-8 ).
• Kenneth Kunen : Set Theory (= Studies in Logic and the Foundations of Mathematics. Vol. 102). North-Holland Publishers, Amsterdam et al. 1980, ISBN 0-444-85401-0 , Capitolo VI, Capitolo VII § 5 f.
• Max Urchs: logica classica. Un introduzione. Akademie-Verlag, Berlino 1993, ISBN 3-05-002228-0 , pp. 112-121 (in relazione ai numeri cardinali).
• Jean-Paul Delahaye : Quanto è reale l'infinito? In: Spettro della scienza. Marzo 2009, ISSN  0170-2971 , pagg. 54-63.

link internet

• Peter Koellner:  The Continuum Hypothesis. In: Edward N. Zalta (a cura di): Stanford Encyclopedia of Philosophy ..
• Peter Koepke: Aspetti metamatematici della teoria degli insiemi di Hausdorff. Anche sull'ipotesi del continuo (PDF).

Prove individuali

1. ^ Gaisi Takeuti, Wilson M. Zaring: Introduction to Axiomatic Set Theory (= Graduate Texts in Mathematics. Vol. 1, ZDB -ID 2156806-6 ). Springer, New York NY et al.1971, Teorema 11.14.
2. ↑ Vedi Leonard Gillman: due classiche sorprese riguardanti l'assioma della scelta e l'ipotesi del continuo. American Mathematical Monthly, Volume 109, 2002, p. 544, PDF.
3. ↑ Vedi Juliet Floyd, Akihiro Kanamori : How Gödel Transformed Set Theory. In: Avvisi dell'American Mathematical Society. Vol.53 , No.4 , 2006, ISSN  0002-9920 , pp. 419-427, qui p. 424, (PDF, 103 kB).
4. ^ W. Hugh Woodin: The Continuum Hypothesis. Parte I. In: Avvisi dell'American Mathematical Society. Vol. 48, No.6, 2001, pp. 567-576, (PDF, 141 kB) e Parte II In: Avvisi della American Mathematical Society. Vol.48, No.7, 2001, pagg. 681-690, (PDF, 149 kB). Allo stesso tempo, rivedi l'articolo.
5. ^ Richard Elwes: Ultimate logic. In: New Scientist . 30 luglio 2011, pp. 30-33.
6. ↑ Martin Aigner , Günter M. Ziegler : Proofs from THE BOOK. Springer, Berlin et al.1998 , ISBN 3-540-63698-6 , Capitolo 16, Teorema 3.
7. ↑ Sierpinski: Sur une proprieté paradoxale de l'espace a trois dimension equivalente a l'hypothèse du continu. Rend. Circ. Mat. Palermo, Serie 2, Volume 1, 1952, pp. 7-10.
8. ^ Sierpinski: numeri cardinali e ordinali. Varsavia 1965, p. 400.
9. ↑ P. Erdős: Alcune osservazioni sulla teoria degli insiemi IV Michigan Math. J. 2 (1953–54), 169–173 (1955), PDF.
10. ↑ Sierpinski: Sur une théorème équivalent a l'hypothèse de l'continu ( ). ${\ displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0}} = \ aleph _ {1}}$Bull. Int. Acad., Polon. Sci. Lett., Serie A, 1919, pagg. 1-3.
11. ↑ Sierpinski: L'Hypothèse du continu. Varsavia, 1934, p. 9.