Hans-Joachim Arnold

Hans-Joachim Arnold

Hans-Joachim Felix Arnold (nato il 31 marzo 1932 a Berlino ; † 20 febbraio 2006 a Mülheim an der Ruhr ) è stato un matematico tedesco e professore universitario . Il fulcro del suo lavoro era la connessione tra algebra universale e geometria , ha fondato l' algebra delle relazioni geometriche .

Vita

Arnold ha studiato all'Università di Amburgo dal 1952 al 1958 e ha conseguito il dottorato da Emanuel Sperner nel 1965 con una tesi sugli spazi lontani con spazi affini . Nel 1970 ha completato la sua abilitazione con Sperner con la sua tesi La geometria degli anelli nel quadro delle strutture affini generali . Nel 1966 è diventato assistente presso l' Università della Ruhr a Bochum , e nel 1973 è stato nominato senatore fondatore per la materia di matematica durante l'istituzione dell'allora università globale a Duisburg . Arnold ha fondato la rivista Results in Mathematics insieme a Heinrich Wefelscheid nel 1977 .

pianta

Arnold riuscì finalmente a risolvere un problema di algebrizzazione di inutili geometrie affini e proiettive di Desargue con il calcolo algebrico relazionale di parenti e multigruppi da lui introdotto . Strutture convenzionali come gruppoidi , quasi-moduli o organismi ternarie algebraize geometrie debolmente affine , in particolare, anche non Desarguean aerei affine , e di conseguenza anche possono generare queste geometrie. In tutti i casi, tuttavia, la condizione di sinonimia viene violata a causa di aree di coordinate mancanti o per dipendenze dalla scelta di un sistema di coordinate richiesto per il processo di transizione. Solo con i parenti affini, che consistono in un insieme di relazioni che operano sull'insieme di punti della geometria presentata, i processi di transizione di algebrizzazione e geometrizzazione diventano sinonimi, cioè H. tranne che per l'isomorfismo, l'uno intorno all'altro.

Un altro vantaggio del modo di parlare algebrico relazionale risiede nella sua espandibilità costruttiva: il linguaggio dell'algebra relazionale geometrica è adatto per specificare semplici regole di calcolo che sono equivalenti a estesi assiomi geometrici aggiuntivi (clausole). La regola di omogeneità a due stadi (H2) sviluppata da Arnold è equivalente alla costruibilità di triangoli paralleli, cioè all'assioma di Tamaschke . La sua regola di omogeneità a tre livelli (H3) trova il suo equivalente sul lato geometrico nella validità del grande teorema affine di Desargues nel piano. Attraverso un'antisimmetria degli operatori nei parenti direzionali affini, Arnold riuscì a descrivere le geometrie affini, disposte nel senso di David Hilbert , sinonimo. I suoi dottorandi Roland Soltysiak, Andreas Kopp e Chandrasekara Senevirathne sono poi riusciti a trovare l'equivalente sinonimo di geometrie quasi corporee, geometrie di linea e le geometrie affini - in breve: semi-ordinate - disposte nel senso di Emanuel Sperner usando parenti quasi affini, parenti di linea e parenti di orientamento affine.

In tutte queste geometrie, il tempo non gioca ancora un ruolo, ma Arnold riesce anche a dinamizzare i parenti affini includendo strutture temporali con i parenti di regola . Mentre metodi matematici complessi di sistemi di equazioni differenziali , geometria differenziale o algebra differenziale vengono utilizzati per analizzare e modellare sistemi dinamici , fornisce un nuovo linguaggio matematico per sistemi tempo-discreti e continui con i "parenti delle regole" sinonimo del termine di sistema generale di Eduardo D. Sontag. Con questo approccio, i suoi studenti di dottorato Peter Stemper, Marc Schleuter e Dirk Wetscheck sono stati in grado di catturare classi di esempio di sistemi lineari, non lineari e fuzzy dalla teoria del controllo utilizzando lo stesso metodo matematico; Axel Sauerland ha mostrato l'isomorfismo dei parenti di regole definiti da sistemi bilineari omogenei di stato e di input omogenei ai parenti affini di Desargue.

Arnold inizialmente descrisse le geometrie proiettive come sinonimo dei cosiddetti multigruppi proiettivi (tridimensionali). Con le relazioni 2x2 che operano su questo insieme di punti, che a loro volta definiscono un sinonimo proiettivo (2x2) -relativo, la descrizione del grande teorema proiettivo di Desargues nel piano riesce attraverso l'estensibilità costruttiva ad una regola di omogeneità (H2x2).

I parenti affini o proiettivi di Arnold nel mondo concettuale dell'algebra e delle geometrie affini o proiettive si rivelano due modi diversi di parlare per lo stesso stato di cose. Inoltre, con i parenti, riesce anche a una descrizione matematica della teoria della cognizione . I concetti della teoria dell'azione e gli aspetti cognitivi nella regolazione di sistemi dinamici semplici sono anche matematizzati da lui utilizzando metodi di teoria delle relazioni.

Caratteri

• A proposito di spazi lontani di spazi debolmente affini. In: Treatises from the Mathematical Seminar of the University of Hamburg. Volume 30, Universität Berlin, Hamburg 1967, pagg. 75-105, doi: 10.1007 / BF02993993 .
• A proposito di una classe di quasi moduli di Sperner. In: Treatises from the Mathematical Seminar of the University of Hamburg. Volume 31, Universität Berlin, Amburgo 1967, pagg. 206-212, doi: 10.1007 / BF02992400 .
• Caratterizzazione algebrica e geometrica degli spazi vettoriali debolmente affini su quasi campi. In: Treatises from the Mathematical Seminar of the University of Hamburg. Volume 32, Universität Berlin, Amburgo 1968, pp. 73-88, doi: 10.1007 / BF02993915 .
• Operazioni di shell e set di scambio Steinitzer transfinito. In: Treatises from the Mathematical Seminar of the University of Hamburg. Volume 33, Universität Berlin, Amburgo 1969, pagg. 32-42, doi: 10.1007 / BF02992802 .
• La geometria degli anelli nel contesto delle strutture affini generali. In: Amburgo scritti matematici individuali. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen New Series, Numero 4, 1971.
• Una via alla geometria degli anelli. In: Journal of Geometry. Volume 1, numero 2, 1971, pagg. 155-167, doi: 10.1007 / BF02150269 .
• Connessione di strutture geometriche e algebriche. In: Treatises from the Mathematical Seminar of the University of Hamburg. Volume 37, Universität Berlin, Amburgo 1972, pp. 1-5, doi: 10.1007 / BF02993894 .
• La chiusura proiettiva delle gemotrie affini con l'ausilio di metodi teorici di relazione. In: Treatises from the Mathematical Seminar of the University of Hamburg. Volume 40, Universität Berlin, Amburgo 1974, pp. 197-214, doi: 10.1007 / BF02993598 .
• Algebrizzazione teorica delle relazioni di geometrie affini e proiettive disposte. In: Treatises from the Mathematical Seminar of the University of Hamburg. Volume 45, Universität Berlin, Amburgo 1976, pagg. 3-60, doi: 10.1007 / BF02992902 .
• Raggruppamenti relazionali nell'ambito della psicologia dello sviluppo di Piaget. In: Contributi all'algebra geometrica. 1977, pagg. 361-366, doi : 10.1007 / 978-3-0348-5573-0_49 .
• Per l'algebrizzazione di strutture proiettive generali affini e associate con l'ausilio di un calcolo vettoriale. In: Contributi all'algebra geometrica. 1977, pagg. 25-29, doi : 10.1007 / 978-3-0348-5573-0_2 .
• A caratterizzare gli spazi di Sperner, omogenei in due punti. In: Journal of Geometry. Volume 9, numero 1-2, 1977, pagg. 9-17, doi: 10.1007 / BF01918053 .
• Sulla struttura degli spazi distributivi di Sperner, che sono omogenei in due punti, con particolare considerazione dei loro spazi distanti. In: Archivi di matematica. Volume 30, numero 1, 1978, pagg. 551-560, doi: 10.1007 / BF01226100 .
• Algebre direzionali. In: Contributi alla geometria. 1979, pagg. 379-382, doi : 10.1007 / 978-3-0348-5765-9_22 .
• Costruzione di stelle del piano Sperner distributivo omogenee in due punti. In: Journal of Geometry. Volume 16, numero 1, 1981, pagg. 83-92, doi: 10.1007 / BF01917577 .
• Parenti affini. In: Risultati in matematica. Volume 12, Birkhäuser, Basilea 1987, pagg. 1–26, doi: 10.1007 / BF03322375 .
• Informazioni su un calcolo relazionale per l'algebrizzazione dei livelli proiettivi. In: Risultati in matematica. Volume 19, Birkhäuser, Basilea 1991, pagg. 211-233, doi: 10.1007 / BF03323282 .
• Il concetto di sistema di teoria del controllo e relative regole. In: Treatises from the Mathematical Seminar of the University of Hamburg. 28, Universität Berlin, Amburgo 1995, pp. 195-208, doi: 10.1007 / BF03322252 .

letteratura

• H.-J. Arnold, W. Benz , H. Wefelscheid (eds.): Contributi all'algebra geometrica. Birkhäuser, Basilea 1977, ISBN 3-0348-5573-7 .

link internet

• Hans-Joachim Arnold in the Mathematics Genealogy Project (inglese)

Prove individuali

1. ↑ H.-J. Arnold: parenti affini. In: Risultati in matematica. Volume 12, Birkhäuser, Basilea 1987, pagg. 1-26.
2. ↑ H.-J. Arnold: algebrizzazione teorica delle relazioni di geometrie affini e proiettive organizzate. In: Treatises from the Mathematical Seminar of the University of Hamburg. Volume 45, Universität Berlin, Amburgo 1976, pp. 3-60.
3. ↑ R. Soltysiak: La proiezione di strutture affini su quasi corpi con l'aiuto di metodi di teoria delle relazioni . Dissertazione. Università completa di Duisburg, 1980.
4. ↑ A. Kopp: Sviluppo di strumenti teorici delle relazioni per l'algebra e la costruzione di strutture affini generali . Dissertazione. Università di Duisburg, 1986.
5. ↑ CM Senevirathne: Caratterizzazione relazionale di geometrie affini e proiettive semi-ordinate . Dissertazione. Università completa di Duisburg, 1990.
6. ↑ H.-J. Arnold: Il concetto di sistema della teoria del controllo e delle regole relative. In: Treatises from the Mathematical Seminar of the University of Hamburg. Volume 28, Università di Berlino, Amburgo 1995, pp. 195-208.
7. ^ ED Sontag: Teoria matematica del controllo. Sistemi dimensionali finiti deterministici. 2a edizione, Springer-Verlag, 1998.
8. ↑ P. Stemper: Costruzione relazionale di geometrie debolmente affini da sistemi di controllo lineare . Dissertazione. Università completa di Duisburg, 1997.
9. ↑ M. Schleuter: Analisi algebrica relazionale delle proprietà di omogeneità nei parenti stabilite dai sistemi di controllo . Dissertazione. Università completa di Duisburg, 1997.
10. ↑ D. Wetscheck: Fuzzificazione dei sistemi di controllo mediante metodi algebrici relazionali e teorici dei grafi . Dissertazione. Università completa di Duisburg, 1999.
11. ↑ A. Sauerland: equazioni differenziali relative di classi di sistemi di controllo lineari e non lineari . Dissertazione. Università di Duisburg, 1994.
12. ↑ H.-J. Arnold: A proposito di un calcolo relazionale per l'algebra dei livelli proiettivi. In: Risultati in matematica. Volume 19, Birkhäuser, Basilea 1991, pagg. 211-233.
13. ↑ H.-J. Arnold: Un'osservazione sulla regola dell'omogeneità (H 2 × 2). (= Serie di pubblicazioni del Dipartimento di Matematica / Gerhard-Mercator-Universität Gesamtthoschulte Duisburg. Volume 370). 1997.
14. ↑ H.-J. Arnold: raggruppamenti teorici relazionali nel contesto della psicologia dello sviluppo di Piaget. In: Contributi all'algebra geometrica. 1977, pagg. 361-366.
15. ↑ E. Heineken, H.-J. Arnold, A. Kopp, R. Soltysiak: Strategie di pensiero nella regolazione di un semplice sistema dinamico in diverse condizioni di tempo morto. In: Linguaggio e cognizione. 11/1986, pagg. 136-148.
16. ↑ H.-J. Arnold: per la descrizione matematica delle azioni umane orientate agli obiettivi sui sistemi tecnici. (= Serie di pubblicazioni del Dipartimento di Matematica / Gerhard Mercator University Intera scuola di Duisburg. Volume 173). 1990.
17. ↑ H.-J. Arnold: Sulla genesi della matematica in campi d'azione adeguati. (= Serie di pubblicazioni del Dipartimento di Matematica / Gerhard-Mercator-Universität Gesamtthoschulte Duisburg. Volume 196). 1991.