Quantile empirico

Un quantile empirico ( -)${\ displaystyle p}$ , chiamato anche semplicemente quantile in breve , è una figura chiave di un campione in statistica . Per ogni numero compreso tra 0 e 1, in termini semplificati, un quantile empirico divide il campione in modo tale che una porzione del campione sia minore del quantile empirico e una porzione del campione sia maggiore del quantile empirico . Ad esempio, se viene fornito un campione di misure di scarpe, il quantile empirico di 0,35 è quella misura di scarpa , in modo che il 35% delle misure di scarpe nel campione siano inferiori e il 65% più grandi di . ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle 1-p}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle s}$

Alcuni quantili empirici hanno nomi propri. Includono la mediana ( ), il quartile superiore e il quartile inferiore, nonché i terzili , i quintili , i decili e i percentili . ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p = 0 {,} 5}$

I quantili (nel senso della teoria della probabilità ) devono essere distinti dai quantili empirici discussi qui . Questi sono indicatori di una distribuzione di probabilità e quindi una funzione astratta (quantità) (simile al valore atteso ), mentre i quantili empirici sono indicatori di un campione (simile alla media aritmetica ).

definizione

Denota la funzione di arrotondamento . Arrotonda ogni numero per difetto al numero intero più piccolo più vicino. Quindi, ad esempio, e . ${\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ lfloor 1 {,} 2 \ rfloor = 1}$${\ displaystyle \ lfloor 3 {,} 99 \ rfloor = 3}$

Dato un campione di dimensione , i cui elementi sono ordinati in base alla dimensione. Ciò significa che si applica ${\ displaystyle \ left (x_ {1}, x_ {2}, \ dotsc, x_ {n} \ right)}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle x_ {1} \ leq x_ {2} \ leq \ dotsb \ leq x_ {n}}$.

Quindi significa per un numero ${\ displaystyle p \ in (0,1)}$

${\ displaystyle x_ {p} = {\ begin {case} {\ tfrac {1} {2}} (x_ {n \ cdot p} + x_ {n \ cdot p + 1}), & {\ text {if }} n \ cdot p {\ text {intero,}} \\ x _ {\ lfloor n \ cdot p + 1 \ rfloor}, & {\ text {if}} n \ cdot p {\ text {non intero. }} \ end {case}}}$

il quantile empirico di .${\ displaystyle p}$${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, \ dotsc, x_ {n}}$

Ci sono alcune definizioni che differiscono dalla definizione data qui.

esempio

Il seguente campione è costituito da dieci numeri interi casuali (estratti dai numeri compresi tra zero e cento, forniti con la distribuzione discreta uniforme ):

${\ displaystyle 82; 91; 12; 92; 63; 9; 28; 55; 96; 97}$

L'ordinamento fornisce il campione

${\ displaystyle x_ {1} = 9; x_ {2} = 12; x_ {3} = 28; x_ {4} = 55; x_ {5} = 63; x_ {6} = 82; x_ {7} = 91; x_ {8} = 92; x_ {9} = 96; x_ {10} = 97}$.

Lo è . ${\ displaystyle n = 10}$

Per uno riceve . Poiché questo è un numero intero, si ottiene la definizione ${\ displaystyle p = 0 {,} 5}$${\ displaystyle p \ cdot n = 5}$

${\ displaystyle x_ {0 {,} 5} = {\ tfrac {1} {2}} \ left (x_ {5} + x_ {5 + 1} \ right) = {\ tfrac {1} {2}} (63 + 82) = 72 {,} 5}$

Per uno riceve . La funzione di arrotondamento fornisce quindi e così ${\ displaystyle p = 0 {,} 25}$${\ displaystyle p \ cdot n + 1 = 0 {,} 25 \ cdot 10 + 1 = 2 {,} 5 + 1}$${\ displaystyle \ lfloor 3 {,} 5 \ rfloor = 3}$

${\ displaystyle x_ {0 {,} 25} = x_ {3} = 28}$.

Analogamente si ottiene per diretto e quindi , quindi è ${\ displaystyle p = 0 {,} 75}$${\ displaystyle p \ cdot n + 1 = 0 {,} 75 \ cdot 10 + 1 = 8 {,} 5}$${\ displaystyle \ lfloor 8 {,} 5 \ rfloor = 8}$

${\ displaystyle x_ {0 {,} 75} = x_ {8} = 92}$.

In contrasto con la media aritmetica, il quantile empirico è robusto contro i valori anomali. Ciò significa che se sostituisci i valori di un campione sopra (o sotto) un certo quantile con un valore sopra (o sotto) il quantile, il quantile stesso non cambia. Ciò si basa sul fatto che i quantili sono determinati solo dal loro ordine e quindi dalla loro posizione l'uno rispetto all'altro e non dai valori numerici specifici del campione. Nel caso del campione sopra, questa sarebbe la media aritmetica . Se ora modifichi il valore più grande del campione, ad esempio, set ${\ displaystyle {\ overline {x}} = 62 {,} 2}$

${\ displaystyle x_ {10} = 1000}$,

così è , mentre la mediana e il quartile inferiore e superiore rimangono invariati perché l'ordine del campione non è cambiato. ${\ displaystyle {\ overline {x}} = 152 {,} 8}$

Quantili speciali

Per alcuni valori, i quantili corrispondenti hanno nomi propri. Vengono brevemente presentati qui di seguito. Va notato che i quantili corrispondenti delle distribuzioni di probabilità sono talvolta indicati con gli stessi nomi propri. ${\ displaystyle p}$

Mediano

La mediana è il quantile e quindi divide il campione in due metà: una metà è più piccola della mediana, l'altra metà è più grande della mediana. Insieme alla modalità e alla media aritmetica, è un importante parametro di localizzazione nelle statistiche descrittive. ${\ displaystyle 0 {,} 5}$

Tercile

I due quantitativi per e sono indicati come terzi . Si divide il campione in tre parti uguali: una parte è più piccola del terzo inferiore (= -quantile), una parte è più grande del terzo superiore (= -quantile) e una parte si trova tra i terzi. ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p = {\ tfrac {1} {3}}}$${\ displaystyle p = {\ tfrac {2} {3}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {3}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {2} {3}}}$

Quartile

I due quantili con e sono indicati come quartili . Il -quantile è chiamato quartile inferiore e il -quantile è chiamato quartile superiore. La metà del campione si trova tra il quartile superiore e inferiore, un quarto del campione si trova al di sotto del quartile inferiore e al di sopra del quartile superiore. Il range interquartile , misura della dispersione, è definito sulla base dei quartili . ${\ displaystyle p = 0 {,} 25}$${\ displaystyle p = 0 {,} 75}$${\ displaystyle 0 {,} 25}$${\ displaystyle 0 {,} 75}$

Quintile

I quattro quantili sono indicati come quintili . Di conseguenza, il 20% del campione è al di sotto del primo quintile e l'80% al di sopra, il 40% del campione è al di sotto del secondo quintile e il 60% al di sopra, ecc. ${\ displaystyle p = 0 {,} 2; 0 {,} 4; 0 {,} 6; 0 {,} 8}$

Decile

I quantili per multipli di , cioè per, sono chiamati decili. Il -quantile è chiamato il primo decile, il -quantile è il secondo decile, ecc. Sotto il primo decile c'è il 10% del campione, sopra il corrispondente 90% del campione. Allo stesso modo, il 40% del campione è al di sotto del quarto decile e il 60% al di sopra. ${\ displaystyle 0 {,} 1}$${\ displaystyle p = 0 {,} 1; 0 {,} 2; \ dotsc; 0 {,} 9}$${\ displaystyle 0 {,} 1}$${\ displaystyle 0 {,} 2}$

Percentile

I percentili sono i quantili da a in incrementi di . ${\ displaystyle 0 {,} 01}$${\ displaystyle 0 {,} 99}$${\ displaystyle 0 {,} 01}$

Termini derivati

Alcune misure di dispersione possono essere derivate dai quantili . Il più importante è l' intervallo interquartile ( intervallo interquartile inglese )

${\ displaystyle IQR: = x_ {0 {,} 75} -x_ {0 {,} 25}}$.

Indica quanto sono distanti i quartili superiore e inferiore, e quindi anche quanto è ampio l'intervallo in cui giace il 50% medio del campione. La distanza (inter) quantile può essere definita un po 'più in generale che per . Indica quanto è ampia l'area in cui giacciono quelle centrali del campione. Perché corrisponde all'intervallo interquartile. ${\ displaystyle x_ {1-p} -x_ {p}}$${\ displaystyle p \ in (0; 0 {,} 5)}$${\ displaystyle 200 \ cdot p \, \%}$${\ displaystyle p = 0 {,} 25}$

Un'altra misura derivata dello spread è la deviazione assoluta media dalla mediana .

presentazione

Un modo per rappresentare i quantili è il box plot . L'intero campione è rappresentato da una scatola con due antenne. I confini esterni della scatola sono rispettivamente i quartili superiore e inferiore. Ciò significa che metà del campione è nella scatola. La scatola stessa viene nuovamente suddivisa, la linea di demarcazione è la mediana del campione. Le antenne non sono definite in modo uniforme. Una possibilità è scegliere il primo e il nono decile per limitare le antenne.

Prove individuali

1. ↑ Norbert Henze: Stocastico per principianti . Un'introduzione all'affascinante mondo del caso. 10a edizione. Springer Spectrum, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-658-03076-6 , p. 30 , doi : 10.1007 / 978-3-658-03077-3 . 
2. ↑ Eric W. Weisstein : Quantile . In: MathWorld (inglese).
3. ↑ Eric W. Weisstein : Interquartile Range . In: MathWorld (inglese).