coppia

Dimensione fisica
Cognome	coppia
Simbolo della formula	${\ displaystyle {\ vec {M}}}$
Dimensioni e sistema di unità unità dimensione SI Nm = N • m M • L 2 • T −2 cgs din • cm M • L 2 • T −2

La coppia (anche momento o momento di forza, dal latino momento forza movimento) è una grandezza fisica in meccanica classica che descrive l'effetto rotazionale di una forza , una coppia di forze o altro sistema di forze su un corpo . Svolge lo stesso ruolo nei movimenti rotatori della forza nei movimenti lineari . Una coppia può accelerare o frenare la rotazione di un corpo e piegare il corpo ( momento flettente ) o torcerlo ( momento torcente ). Negli alberi di trasmissione , la coppia, insieme alla velocità, determina la potenza trasmessa . Ogni coppia può essere descritta da un paio di forze. La coppia di una coppia di forze è indipendente dal punto di riferimento e può quindi essere spostata come vettore libero .

L' unità di misura della coppia utilizzata a livello internazionale è il newtonmetro . Come un simbolo di formula è comune. Se una forza agisce sul braccio di una leva perpendicolarmente , la quantità di coppia si ottiene moltiplicando la quantità di forza per la lunghezza del braccio di leva: ${\ stile di visualizzazione M}$ ${\ stile di visualizzazione M}$${\ stile di visualizzazione F}$${\ stile di visualizzazione h}$

${\ displaystyle M = h \ cdot F}$

${\ stile di visualizzazione M}$è la quantità del vettore della coppia che risulta dal prodotto vettoriale del vettore posizione e del vettore forza: ${\ displaystyle {\ vec {M}}}$

${\ displaystyle {\ vec {M}} = {\ vec {r}} \ volte {\ vec {F}}}$

È il vettore posizione dal punto di riferimento della coppia al punto di applicazione della forza. La direzione del vettore della coppia indica la direzione di rotazione della coppia. Il punto di riferimento può essere scelto liberamente; non deve essere il punto attorno al quale ruota il corpo (in alcuni casi non esiste tale punto) e non deve essere un punto del corpo su cui agisce la forza. La coppia di una singola forza, come il momento angolare, è quindi definita solo rispetto a un punto, che a volte è anche esplicitamente affermato: ${\ displaystyle {\ vec {r}}}$

${\ displaystyle {\ vec {M}} ^ {(A)}}$con punto di riferimento .${\ stile di visualizzazione A}$

Se più forze ( ) agiscono su punti diversi , la coppia totale è la somma vettoriale delle singole coppie: ${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {i}}$${\ displaystyle i = 1,2, \ puntic}$${\ displaystyle {\ vec {r}} _ {i}}$

${\ displaystyle {\ vec {M}} = \ sum _ {i} {\ vec {r}} _ {i} \ times {\ vec {F}} _ {i}}$

Se due forze parallele agiscono su un corpo, che hanno la stessa quantità ma direzione opposta, e le cui linee d'azione sono distanti una certa distanza , provocano una coppia di entità . Si parla poi di un paio di forze . ${\ stile di visualizzazione F}$${\ stile di visualizzazione h}$${\ displaystyle M = F \ cdot h}$

Denominazioni e delimitazione

Coppia come momento del primo ordine

Il termine "momento" è generalmente utilizzato per le caratteristiche delle distribuzioni che si riferiscono alla forma

${\ displaystyle m_ {n} = \ int _ {\ mathbb {R}} x ^ {n} \ mathrm {d} \ mu (x)}$

portalo. Nel caso di una coppia, per la misura va presa la funzione che assegna una forza alla posizione e all'ordine . La coppia è quindi il momento del primo ordine (momento dipolare) di una distribuzione di forza. ${\ displaystyle \ mu}$${\ stile di visualizzazione x}$${\ stile di visualizzazione n = 1}$

Al posto di una distribuzione di forze si possono considerare anche altre grandezze fisiche e le loro distribuzioni, come nel caso di un'espansione multipolare , generalmente sviluppate in base ai momenti. Le quantità risultanti che non sono coppie sono anche denominati con le parole che contengono la desinenza -moment . Esempi sono il momento dell'area , il momento d'inerzia o il momento magnetico .

Scelta delle parole in scienza e tecnologia

Nei lavori di meccanica teorica e fisica, la grandezza fisica qui trattata è generalmente indicata come momento torcente . Nella meccanica tecnica , così come nelle norme DIN e VDI , la variabile è generalmente indicata come momento . Viene anche raramente indicato come coppia, e talvolta la coppia di designazione viene anche respinta come "colloquiale". A volte la coppia viene utilizzata per il momento di un paio di forze. Nella maggior parte dei casi, la coppia viene utilizzata solo quando il corpo in questione ruota, ad esempio durante il serraggio di viti o alberi motore, ma non quando c'è una deformazione (momento flettente o torcente) o l'effetto non è ancora noto ( Momento).

Ci sono anche un certo numero di momenti che si formano con il suffisso -momento , come il momento flettente, il momento torcente o il momento motore. Non vengono utilizzate denominazioni come coppia flettente o coppia torcente.

Coppie speciali nella tecnologia

Si fa una distinzione tra

Tipo di stress:

• Momento flettente : Un momento che sollecita un componente in flessione .
• Torsionale momentaneamente Il momento che un componente viene sottoposto a torsione .
• Momento di taglio: reazione di taglio durante il taglio libero .

Tipo di movimento:

• Momento di imbardata, beccheggio, rollio: momenti attorno ad assi speciali di un corpo rigido durante l' imbardata , il beccheggio e l' oscillazione .

Tipo di effetto:

• Coppia di spunto: la coppia che un motore primo può fornire da fermo (più raramente chiamata anche coppia di spunto) o che una macchina da lavoro o un veicolo ha bisogno all'avvio.
• Coppia motrice: La coppia che agisce sull'albero di ingresso di una macchina o cambio, sull'asse della ruota di un veicolo o sull'asse di un'elica . Per il motore di azionamento o l'ingranaggio di azionamento è la coppia motrice Ab .
• Coppia o coppia: La coppia che durante il fissaggio (serraggio) viene applicata a una vite.
• Momento di ribaltamento: In meccanica, il momento in cui un oggetto in posizione verticale si ribalta. In ingegneria elettrica, la coppia massima nella curva coppia/velocità di un motore asincrono . Vedi punto critico per i dettagli .
• Coppia di carico : La coppia che una macchina operatrice oppone al motore di azionamento o al cambio. Per il motore primo o il cambio, è la coppia in uscita.
• Momento di vincolo : Un momento che si genera al vincolo , cioè l'attaccamento di un corpo. Impedisce al corpo di ruotare.
• Momento di offset: momento di una forza rispetto al punto di riferimento per la forza e momento di equilibrio.

Altro:

• Coppia nominale: La coppia per un componente nella costruzione quotata era.
• Momento nominale: il momento per il quale è stato progettato un componente.
• Coppia specifica: La coppia per litro di cilindrata per motori a pistoni. I valori massimi per i motori a benzina a quattro tempi e per i grandi motori diesel a quattro tempi sono 200 Nm / dm³. I motori diesel marini a due tempi molto grandi raggiungono i 300 Nm/dm³.

Tipi di coppie

Si fa una distinzione tra

• la coppia di una singola forza rispetto a un punto,
• la coppia di una singola forza rispetto ad un asse e
• la coppia di una coppia di forze .

Con i primi due termini, l'entità e il senso di rotazione della coppia dipendono dal pezzo di riferimento (punto o retta). Con la coppia di forze, invece, si ottiene sempre la stessa coppia totale indipendentemente dal pezzo di riferimento, se si considerano e si sommano le coppie delle singole forze della coppia di forze.

Per tutte e tre le tipologie sono possibili due differenti approcci equivalenti:

• Una considerazione mista, geometrica e algebrica in cui la quantità di coppia è il prodotto della forza e del braccio di leva. Il piano di azione e la direzione di rotazione risultano da considerazioni geometriche.
• La seconda variante è puramente analitica. La coppia è considerata come un vettore, che risulta come il prodotto vettoriale del vettore posizione e del vettore forza . Il vettore di coppia indica quindi la quantità, il piano di azione e il senso di rotazione.

Quale considerazione sia più opportuna dipende dal problema da esaminare e dalle conoscenze matematiche dell'utente. Se tutte le forze agenti sono sullo stesso piano, si raccomanda l'approccio geometrico-algebrico, che se la cava con una matematica relativamente semplice. Se le forze formano un sistema di forze spaziale , tale procedura è possibile, ma difficile. La rappresentazione vettoriale è quindi appropriata, ma richiede la conoscenza di concetti matematici più avanzati come il prodotto vettoriale. Inoltre, le relazioni matematiche generali tra la coppia e altre grandezze fisiche, come quelle studiate nella meccanica teorica, possono essere rappresentate più facilmente con i vettori. Nei libri di scuola e nei libri di testo introduttivi alla meccanica tecnica si predilige inizialmente l'approccio geometrico-algebrico. Nei libri di testo di meccanica teorica e nelle opere di riferimento sulla meccanica tecnica, invece, è diffusa la rappresentazione vettoriale.

Quanto segue si applica alla quantità di coppia per tutti e tre i tipi: forza per braccio di leva. Una singola coppia agisce in un piano ed è generalmente sufficiente considerare questo piano. La coppia può quindi essere specificata da un solo numero, il cui segno indica il senso di rotazione. Le coppie che ruotano in senso antiorario, cioè in senso matematicamente positivo, vengono solitamente conteggiate positivamente. Se ci sono più momenti che non agiscono sullo stesso piano, è più utile descriverli con il loro vettore di coppia. Questo è perpendicolare al piano in cui agisce la coppia.

Vari modi sono possibili per la derivazione teorica delle coppie. La coppia di una singola forza può essere definita in base alle leggi fondamentali della meccanica. La coppia di una coppia di forze è quindi la somma delle coppie delle due forze. Invece, considerazioni sulla risultante di una coppia di forze portano direttamente alla sua coppia. La coppia di una singola forza viene quindi ottenuta spostando la forza su una linea di azione parallela (coppia di offset, vedere spostamento delle forze di seguito ).

Coppia di una forza rispetto a un punto

La coppia o il momento di una (singola) forza rispetto a un punto agisce nel piano contenente la forza e il punto di riferimento. A questo livello, la sua quantità è definita come il prodotto del braccio di leva e la quantità di forza : ${\ stile di visualizzazione A}$${\ stile di visualizzazione M}$${\ stile di visualizzazione a}$${\ stile di visualizzazione F}$

${\ displaystyle M = a \ cdot F}$

Per evitare confusione con altre coppie, si annota anche il punto di riferimento:

${\ stile di visualizzazione M ^ {(A)}}$o .${\ stile di visualizzazione M _ {(A)}}$

Il braccio di leva è la distanza verticale tra il punto di riferimento e la linea di azione della forza. Questa non è generalmente la linea di collegamento diretto tra il punto di riferimento e il punto di applicazione della forza. Poiché il braccio di leva non cambia quando la forza viene spostata lungo la sua linea di azione, anche la sua coppia non cambia. Il punto di riferimento stesso può essere selezionato liberamente. Non deve essere il punto attorno al quale ruota il corpo in questione. Questo in parte non è noto e non esiste un tale punto nei corpi che sono saldamente collegati al loro ambiente. Il punto di riferimento non deve essere parte del corpo su cui agisce la forza. Sia l'entità che il senso di rotazione della coppia dipendono dalla scelta del punto di riferimento.

La definizione del vettore è

${\ displaystyle {\ vec {M}} = {\ vec {M}} ^ {(A)} = {\ vec {r}} \ volte {\ vec {F}}}$.

È il prodotto vettoriale del vettore posizione , che punta dal punto di riferimento al punto di applicazione della forza, e il vettore forza . La grandezza del vettore posizione generalmente non corrisponde al braccio di leva. La quantità del vettore di coppia può essere calcolata dalle quantità della posizione e del vettore di forza e dall'angolo tra i due ${\ displaystyle {\ vec {r}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {F}}}$${\ displaystyle \ varphi}$

${\ displaystyle M = | {\ vec {M}} | = F \ cdot r \ cdot \ sin \ varphi = | {\ vec {F}} | \ cdot | {\ vec {r}} | \ cdot \ sin \varphi}$

È quindi vero . ${\ displaystyle a = r \ cdot \ sin \ varphi}$

Spesso il momento torcente è sempre legato all'origine per convenzione : ${\ stile di visualizzazione O}$

${\ displaystyle {\ vec {M}} = {\ vec {M}} ^ {(O)} = {\ vec {r}} \ volte {\ vec {F}}}$

Il vettore posizione punta quindi dall'origine al punto di applicazione della forza. ${\ displaystyle {\ vec {r}}}$

Il vettore della coppia è perpendicolare al piano in cui agisce la coppia, e quindi anche perpendicolare al piano attraversato dalla forza e dal vettore posizione. La sua quantità, cioè la sua lunghezza, corrisponde alla quantità di coppia e all'area del parallelogramma, che è formata dalla posizione e dal vettore di forza. Il senso di rotazione risulta dalla regola della mano destra : se si afferra il vettore di coppia nella mano destra in modo tale che il pollice sia rivolto nella direzione della punta della freccia, le altre dita indicano il senso di rotazione.

Coppia di una forza rispetto ad un asse

Per la coppia di una forza rispetto a un asse, come punto di riferimento viene selezionato il punto dell'asse più vicino al punto di applicazione della forza. La distanza tra il punto di applicazione e l'asse è quindi il braccio di leva. Per il calcolo, si può proiettare la forza in un piano perpendicolare all'asse, e quindi utilizzare la forza proiettata per formare la coppia rispetto al punto in cui l'asse penetra nel piano. In alternativa, la coppia della forza originaria può essere generata anche rispetto a qualsiasi punto della retta. Il vettore di coppia viene quindi proiettato in un piano perpendicolare alla retta.

Coppia di un paio di forze

Una coppia di forze è costituita da due forze che si trovano su linee di azione parallele, hanno la stessa quantità e puntano in direzioni opposte. A differenza di una singola forza, non può muovere un corpo, ma cerca di girarlo. Quando i corpi ruotano sono spesso presenti coppie di forze; tuttavia, una delle due forze spesso non è immediatamente riconoscibile perché è principalmente una forza vincolante . La quantità di coppia generata da una coppia di forze può essere calcolata come il prodotto della quantità di una delle due forze e la distanza tra le loro linee di azione:${\ stile di visualizzazione F}$${\ stile di visualizzazione a}$

${\ displaystyle M = F \ cdot a}$

Il vettore di coppia della coppia di forze può essere calcolato da:

${\ displaystyle {\ vec {M}} = {\ vec {r}} \ volte {\ vec {F}}}$

Il vettore posizione punta da qualsiasi punto sulla linea di azione di una forza a qualsiasi punto sulla linea di azione dell'altra forza. Viene spesso utilizzato il vettore che collega i punti di applicazione delle due forze. ${\ displaystyle {\ vec {r}}}$

L'effetto delle coppie di forze differisce dalle singole forze in alcuni punti importanti, motivo per cui le coppie di coppie di forze differiscono anche dalle altre coppie:

• La coppia di una coppia di forze è indipendente dai punti di riferimento. Ciò significa che un paio di forze possono essere spostate in qualsiasi posizione senza modificarne l'effetto o la coppia.
• Una coppia di forze può essere sostituita dalla sua coppia senza modificare l'effetto sul corpo su cui agisce. Una singola forza, d'altra parte, non può essere sostituita dalla sua coppia.
• Il vettore di coppia di una coppia di forze può essere spostato in qualsiasi posizione. È un vettore libero . Il vettore coppia di una forza, invece, è un vettore assiale . Può essere spostato solo lungo la linea retta che definisce.

Derivazioni e relazioni tra i tipi di coppia

Esistono vari modi per derivare le coppie in base alle leggi fondamentali della meccanica.

In meccanica teorica

In meccanica teorica, la seconda legge di Newton è solitamente assunta nella forma "forza uguale a massa per accelerazione":

${\ displaystyle {\ vec {F}} = m \, {\ ddot {\ vec {r}}} (t)}$

Il vettore punta in ogni punto nel tempo dall'origine alla posizione del punto di massa, che è anche il punto di applicazione della forza. La derivata del vettore posizione rispetto al tempo dà la velocità , che è indicata da un punto, la derivata seconda l'accelerazione , che è caratterizzata da due punti. Se l'equazione precedente viene moltiplicata vettorialmente per il vettore posizione da sinistra, il risultato è la coppia della forza rispetto all'origine a sinistra e la derivata temporale del momento angolare a destra : ${\ displaystyle {\ vec {r}} (t)}$${\ stile di visualizzazione t}$${\ displaystyle {\ punto {\ vec {r}}} (t)}$${\ displaystyle {\ ddot {\ vec {r}}} (t)}$${\ displaystyle {\ vec {L}} (t)}$

${\ displaystyle {\ vec {r}} (t) \ volte {\ vec {F}} = {\ vec {r}} (t) \ volte m \, {\ ddot {\ vec {r}}} ( T)}$

${\ displaystyle {\ vec {M}} (t) = {\ punto {\ vec {L}}} (t)}$

La coppia di una coppia di forze risulta dalla somma delle coppie delle due forze: ${\ displaystyle {\ vec {M}} _ {K}}$

${\ displaystyle {\ vec {M}} _ {K} = {\ vec {M}} _ {1} + {\ vec {M}} _ {2} = {\ vec {r}} _ {1} \ volte {\ vec {F}} _ {1} + {\ vec {r}} _ {2} \ volte {\ vec {F}} _ {2}}$

Poiché è vero nella coppia di forze , segue anche ${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {2} = - {\ vec {F}} _ {1}}$

${\ displaystyle {\ vec {M}} _ {K} = ({\ vec {r}} _ {2} - {\ vec {r}} _ {1}) \ volte {\ vec {F}} _ {1}}$,

in accordo con la definizione di cui sopra della coppia di una coppia di forze, poiché . ${\ displaystyle {\ vec {r}} = {\ vec {r}} _ {2} - {\ vec {r}} _ {1}}$

In meccanica tecnica

Nella meccanica tecnica, le considerazioni sulla risultante dei sistemi di forza portano direttamente alla coppia di una coppia di forze. Da ciò si può ricavare la coppia di una singola forza.

Con il parallelogramma delle forze , due forze con un punto di applicazione comune possono essere sostituite da una forza risultante. Se le due forze agiscono su un corpo rigido, possono anche combinarsi se si intersecano solo le linee d'azione delle due forze, poiché le forze possono quindi essere spostate nel punto di intersezione senza modificare l'effetto sul corpo. Con forze parallele, invece, non c'è punto di intersezione. Se le due forze sono di forza diversa, tuttavia, si può trovare un punto di intersezione e si può formare una forza risultante aggiungendo altre due forze la cui forza risultante è zero. Per la coppia di forze, invece, non esiste un punto di intersezione, ma una diversa coppia di forze, possibilmente in posizione diversa e con linee di azione ruotate a distanza diversa l'una dall'altra e con forza diversa delle due opposte uguali forze. La forza prodotto per la distanza tra le linee di azione , cioè la coppia, rimane sempre costante. La coppia di forze non può essere sostituita da un'unica forza risultante, ma solo da un'altra coppia di forze con la stessa coppia. La coppia di forze può quindi essere sostituita abbastanza generalmente dalla sua coppia.

La coppia di una singola forza rispetto a un punto risulta dalla coppia di una coppia di forze utilizzando la coppia di spostamento (vedi spostamento delle forze sotto ). Si considera la linea parallela alla linea d'azione passante per il punto di riferimento come la linea d'azione di due forze opposte uguali della stessa grandezza della forza individuale. La forza individuale viene combinata con la nuova forza corrispondente per formare una coppia di forze e questa viene quindi sostituita dalla sua coppia. Il risultato corrisponde allo spostamento della forza individuale originale e all'aggiunta della coppia di una coppia di forze. Quest'ultimo è il momento di offset.

Rappresentazioni e notazioni

Ci sono numerose notazioni per le coppie nelle equazioni e nelle rappresentazioni nei disegni. Se un piano in cui agisce la coppia è mostrato nei disegni, di solito è rappresentato da una freccia curva che può variare tra un quarto di cerchio e un tre quarti di cerchio. La punta indica quindi il senso di rotazione. Nelle rappresentazioni tridimensionali, le frecce vengono utilizzate come tre quarti di cerchio che ruotano attorno a determinati assi o frecce diritte che mostrano i vettori di coppia. Come generalmente accade con i vettori, questi possono essere rappresentati da una semplice freccia. Poiché forze e momenti si verificano simultaneamente in molti problemi meccanici, anche i vettori di coppia sono contrassegnati con un doppio punto per evitare confusione.

Dipendenza dal punto di riferimento

Nei sistemi non in equilibrio, il valore della coppia generalmente dipende dalla scelta del punto di riferimento. Se il punto di riferimento viene spostato della distanza , la coppia rispetto al nuovo punto di riferimento assume il valore ${\ displaystyle {\ vec {s}}}$${\ displaystyle {\ vec {M}} '}$

${\ displaystyle {\ vec {M}} '= {\ vec {M}} - {\ vec {s}} \ volte {\ vec {F}}.}$

Ecco la forza risultante , cioè la somma di tutte le singole forze . ${\ displaystyle \ textstyle {\ vec {F}} = \ sum _ {i} {\ vec {F}} _ {i}}$${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {i}}$

Se la forza risultante è zero, il corpo non subisce alcuna accelerazione e il centro di gravità non cambia velocità o direzione di movimento. La forza cambia solo il momento angolare. In questo caso la coppia è indipendente dal suo punto di riferimento e può essere spostata liberamente senza modificare l'effetto sul corpo. Poiché per questa situazione sono necessarie (almeno) due forze, che hanno la stessa quantità ma una direzione opposta e le cui linee di azione hanno una certa distanza , si parla di coppia di forze . La coppia di forze provoca una coppia con la quantità . ${\ stile di visualizzazione F}$${\ stile di visualizzazione a}$${\ stile di visualizzazione M = aF}$

Unità di misura

L' unità di misura della coppia nel SI è il newton metro (Nm). Con le unità di base di chilogrammi, metri e secondi, si applica quanto segue:

${\ displaystyle 1 \ \ mathrm {Nm} = 1 \ {\ frac {\ mathrm {kg \, m ^ {2}}} {\ mathrm {s ^ {2}}}}}$

L'unità di lavoro meccanico è anche il newton metro e ha il nome "Joule" (1 J = 1 N · m). Il nome dell'unità "Joule" non può essere utilizzato per la coppia, perché coppia e lavoro sono grandezze fisiche diverse che non possono essere convertite l'una nell'altra. Il lavoro viene eseguito quando una forza (componente) agisce parallelamente al movimento quando si muove lungo un percorso. Nel caso della coppia, invece, la forza agisce perpendicolarmente alla traiettoria formata dal braccio di leva. Il lavoro è una grandezza scalare , mentre la coppia è uno pseudo vettore .

La frase "lavoro = forza per distanza" corrisponde a "lavoro = coppia per angolo". Per mostrare questa relazione, l'unità può essere utilizzata anche come energia per angolo per la coppia

${\ displaystyle 1 \ {\ frac {\ mathrm {J}} {\ mathrm {rad}}}}$

può essere utilizzato, la direzione del vettore che punta quindi nella direzione dell'asse di rotazione. Qui, l'unità Radiante per l'angolo piano. ${\ displaystyle \ mathrm {rad}}$

Nei documenti tecnici e sulle targhette, la coppia è specificata in Nm. Altre unità utilizzate sono ad es. B. o combinazioni di altre unità (di peso) di forza e lunghezza. ${\ displaystyle {\ text {ft}} \ cdot {\ text {lb}}}$

Addizione di coppie

Le coppie possono essere aggiunte a una coppia risultante, proprio come le forze possono essere aggiunte a una forza risultante. Se si considerano tutte le coppie, si parla anche di coppia totale. L'insieme dei momenti crea correlazioni tra la forza risultante e la coppia risultante .

Coppia totale

Le singole coppie di due forze possono essere sommate se si riferiscono allo stesso punto : ${\ stile di visualizzazione A}$

${\ displaystyle {\ vec {M}} ^ {(A)} = {\ vec {r}} _ {A, F1} \ volte {\ vec {F}} _ {1} + {\ vec {r} } _ {A, F2} \ volte F_ {2}}$

Se c'è un numero qualsiasi di forze, la coppia totale è la somma di tutte le coppie. Se sono legati all'origine, risulta

${\ displaystyle {\ vec {M}} = {\ vec {M}} _ {\ mathrm {Ges}} = \ sum _ {i} {\ vec {r}} _ {i} \ times {\ vec { F}} _ {i}}$.

Il vettore punta dall'origine al punto base della forza . Se le coppie di forze sono state sostituite dalle loro coppie , occorre aggiungere anche queste: ${\ displaystyle {\ vec {r}} _ {i}}$${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {i}}$${\ displaystyle {\ vec {M}} ^ {\ mathrm {KP}}}$

${\ displaystyle {\ vec {M}} = {\ vec {M}} _ {\ mathrm {Ges}} = \ sum _ {i} {\ vec {r}} _ {i} \ times {\ vec { F}} _ {i} + \ sum _ {j} {\ vec {M}} _ {j} ^ {\ mathrm {KP}}}$

Teorema dei momenti di statica

La legge dei momenti della statica dice che il momento della forza risultante ha su un corpo lo stesso effetto del momento totale, che risulta dalla somma dei singoli momenti: ${\ displaystyle F _ {\ mathrm {R}}}$

${\ displaystyle a _ {\ mathrm {R}} \ cdot F _ {\ mathrm {R}} = a_ {1} \ cdot F_ {1} + a_ {2} \ cdot F_ {2} + \ punti b + a_ {n } \ cdot F_ {n}}$

La forza risultante, che è formata da tutte le forze esistenti, deve avere su un corpo lo stesso effetto delle singole forze. La quantità e la direzione della forza risultante risultano dalla somma vettoriale delle singole forze, ma né il suo punto di applicazione né la sua linea di azione. Questi sono determinati utilizzando il momento impostato. La forza risultante deve giacere sulla linea di azione sulla quale genera lo stesso momento delle singole forze.

Il set di coppia è particolarmente importante quando si controlla l'equilibrio di coppia o per calcolare forze sconosciute usando l'equilibrio di coppia. Le forze che sono inclinate rispetto agli assi coordinati nello spazio possono quindi essere suddivise in più forze perpendicolari agli assi. I loro momenti possono essere calcolati più facilmente. I momenti prodotti da queste componenti di forza corrispondono in somma al momento prodotto dalla forza originale.

bilancia

Quando un corpo è in equilibrio meccanico , non cambia il suo stato di moto. Quindi non è né accelerato né decelerato.

Un corpo in equilibrio, si trova sia nell'equilibrio delle forze , sia nell'equilibrio di coppia o equilibrio di momenti rispetto ad un punto arbitrario : ${\ stile di visualizzazione A}$

${\ displaystyle \ sum _ {i} {{\ vec {M}} _ {i} ^ {(A)}} = {\ vec {0}}}$

Questo vale per qualsiasi punto A e quindi anche per i punti che sono al di fuori del corpo. C'è un punto in cui le linee di azione di quante più forze possibili si intersecano. In questi, la lunghezza del braccio di leva è zero, il che si traduce in una coppia zero. Di conseguenza, queste coppie non compaiono nell'equazione, il che semplifica il calcolo. Se c'è solo una forza sconosciuta tra queste forze, può essere calcolata immediatamente. A volte può essere utile determinare più equilibri di coppia, se ciò consente di calcolare per ciascuno una forza sconosciuta diversa.

Se un corpo è in equilibrio di coppia rispetto ad un punto, non si può concludere da ciò che sia anche complessivamente in equilibrio, né che sia in equilibrio di coppia rispetto ad altri punti. Ad esempio, se agisce una sola forza, essa è in equilibrio di coppia rispetto a un punto sulla linea di azione di questa forza, ma non in equilibrio di coppia rispetto a punti lontani da questa linea e nemmeno in equilibrio totale, poiché agisce una forza per la quale non c'è controforza. Tuttavia, un corpo è complessivamente in equilibrio all'interno di un piano se è in equilibrio di coppia rispetto a tre punti diversi, purché questi tre punti non siano su una linea retta.

Forze mutevoli

Una freccia di forza può essere spostata lungo la sua linea d'azione senza restrizioni, senza modificare il suo effetto su un corpo rigido. Nella posizione in cui il vettore distanza è perpendicolare alla linea di azione della freccia di forza, è chiamato braccio di leva . In termini di importo, si applica quanto segue: "La coppia è uguale alla forza del braccio di leva per la forza". Con due forze agenti (che sono poi indicate come forza e carico ), l'equilibrio della coppia è equivalente alla legge della leva : ${\ displaystyle {\ vec {r}}}$

Braccio per forza = braccio per carico.

(Si noti che, in senso stretto, solo le quantità sono le stesse, perché le due coppie sono in direzioni opposte e quindi hanno segni diversi.)

Se una forza viene spostata perpendicolarmente alla sua linea d'azione della distanza su una linea d'azione parallela, la coppia che essa provoca cambia rispetto al punto di riferimento. Una forza può quindi essere spostata in questo modo solo se viene introdotta anche una coppia che compensi questa variazione. Questo è indicato come momento di spostamento o momento di offset e ha l'importo . ${\ stile di visualizzazione a}$${\ displaystyle F \ cdot a}$

dinamica

La dinamica riguarda stati che non sono in equilibrio. Secondo la 2a legge di Newton , una forza esterna risultante su un corpo porta ad una variazione di velocità ( accelerazione ). Analogamente, una coppia esterna risultante significa una variazione della velocità angolare ( accelerazione angolare ). Le coppie all'interno del corpo (momento flettente o torcente) non giocano un ruolo nel cambiamento di movimento. Il comportamento d'inerzia rispetto alla rotazione dipende non solo dalla massa di un corpo, ma anche dalla sua distribuzione spaziale. Questo è espresso in termini di momento d'inerzia . Quando si ruota attorno a un asse fisso, per la coppia in direzione di questo asse vale quanto segue: ${\ displaystyle {\ vec {\ omega}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {\ alpha}} = {\ punto {\ vec {\ omega}}}}$ ${\ stile di visualizzazione I}$

${\ displaystyle M = I \, \ alfa}$

Va notato che il momento d'inerzia non dipende solo dalla posizione dell'asse di rotazione (vedi teorema di Steiner ), ma anche dalla sua direzione. Se si vuole formulare l'equazione di cui sopra più in generale per qualsiasi direzione spaziale, si deve invece usare il tensore di inerzia : ${\ displaystyle \ mathbf {I}}$

${\ displaystyle {\ vec {M}} = \ mathbf {I} \, {\ vec {\ alpha}}}$

La relazione tra coppia e velocità di variazione del momento angolare ( , torsione, momento ) può essere espressa come: ${\ displaystyle {\ vec {L}}}$

${\ displaystyle {\ vec {M}} = {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {L}}} {\ mathrm {d} t}}}$

Questa equazione è nella meccanica ingegneristica come momento angolare, momento angolare, tasso di coppia o tasso di momento angolare , rispettivamente. ( Il momento angolare sta anche per il tasso di conservazione del momento angolare , attualmente impostato è disponibile anche per il momento impostato dalla statica .)

Nel caso speciale bidimensionale , una coppia semplicemente accelera o decelera un movimento rotatorio. Nel caso tridimensionale generale, però, può anche cambiare il verso dell'asse di rotazione (vedi ad es. precessione ).

Corrispondenze tra moto lineare e moto rotatorio

La coppia aumenta nella meccanica classica per il movimento rotatorio un ruolo simile alla forza per il movimento lineare: ${\ displaystyle {\ vec {M}}}$${\ displaystyle {\ vec {F}}}$

	Movimento rettilineo	Movimento rotatorio
lavoro	Forza moltiplicata per la strada ${\ displaystyle W = F \ cdot \ Delta s}$	Coppia tempi angolo di rotazione ( radianti ) ${\ displaystyle W = M \, \ Delta \ varphi}$
	in genere: ${\ displaystyle W = \ int {\ vec {F}} ({\ vec {s}}) \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {s}}}$	in genere: ${\ displaystyle W = \ int {\ vec {M}} ({\ vec {\ varphi}}) \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {\ varphi}}}$
potenza	Forza per velocità ${\ displaystyle P = {\ vec {F}} \ cdot {\ vec {v}}}$	Coppia per velocità angolare ${\ displaystyle P = {\ vec {M}} \ cdot {\ vec {\ omega}}}$
Equilibrio statico	Equilibrio di forze ${\ displaystyle \ sum {\ vec {F}} _ {i} = {\ vec {0}}}$	Equilibrio di coppia ${\ displaystyle \ sum {\ vec {M}} _ {i} = {\ vec {0}}}$
Movimento accelerato	Mass volte l'accelerazione ${\ displaystyle {\ vec {F}} = m \, {\ vec {a}}}$	Inerzia tensoriali volte accelerazione angolare ${\ displaystyle {\ vec {M}} = \ mathbf {I} \, {\ vec {\ alpha}}}$
	Tasso di variazione del momento ${\ displaystyle {\ vec {F}} = {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {p}}} {\ mathrm {d} t}}}$	Tasso di variazione del momento angolare ${\ displaystyle {\ vec {M}} = {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {L}}} {\ mathrm {d} t}}}$

1. ↑ ^{a b} Queste formule semplificate si applicano a una forza costante lungo un percorso nella direzione della forza oa una coppia costante attorno a un asse nella direzione di rotazione. Nel caso di forze e momenti variabili o nel caso di disposizioni ad angolo obliquo, devono essere utilizzate le formule generali nella riga sottostante.

Misura della coppia

Corpo a riposo

Il corpo rotante è tenuto a riposo da una controcoppia statica . La coppia da misurare e che agisce sul corpo in appoggio è la stessa della controcoppia che si genera, ad esempio, con una leva, e il cui valore è il prodotto della lunghezza del braccio di leva e della controforza alla fine della leva.

Corpo rotante

La coppia agente su un albero rotante ad una certa velocità viene misurata con un freno dinamometrico, ad esempio una briglia Prony o un freno a vortice d' acqua . Questo dispositivo di frenatura collegato all'albero assorbe l'intera potenza trasmessa e contemporaneamente misura la coppia.

Ad esempio, un motore primo , sul cui albero deve essere misurata la coppia, o il dispositivo di frenatura sono montati girevolmente attorno all'asse di rotazione dell'albero e la forza circonferenziale di contrasto è misurata all'estremità libera di un braccio di leva fissato al macchina o il dispositivo di frenatura.

La misurazione viene ripetuta più volte e viene generata una caratteristica coppia/velocità.

La coppia che varia la velocità di rotazione può essere determinata misurando l'accelerazione angolare  se il momento d'inerzia è noto. La valutazione si effettua con la formula ${\ displaystyle \ alfa}$ ${\ stile di visualizzazione I}$

${\ displaystyle M = I \, \ alfa}$.

Coppie su macchine selezionate

Motori elettrici

Il motore asincrono nella versione con rotore a gabbia di scoiattolo è un motore elettrico di uso frequente. L'immagine mostra la coppia tipicamente generata durante il funzionamento sulla rete elettrica (frequenza e costante di tensione) in funzione della velocità. Il motore può funzionare a lungo solo nel piccolo campo di velocità a destra dei punti di ribaltamento K1 o K2 sulla curva in forte pendenza. A sinistra dei punti di ribaltamento si trova l'area di avvicinamento, che deve essere sempre attraversata il più rapidamente possibile. All'avvio, il motore asincrono ha una scarsa efficienza, un'elevata corrente di avviamento e una coppia bassa. Per ovviare a questi inconvenienti si adottano vari accorgimenti, ad esempio il circuito di avviamento stella-triangolo o il funzionamento su convertitore di frequenza . Con quest'ultimo, l'avviamento riesce con una coppia superiore a quella nominale, in modo che il motore possa essere utilizzato anche negli azionamenti di veicoli.

Un altro motore di uso frequente è il motore a corrente continua avvolto in serie , che presenta una coppia di spunto particolarmente elevata. Viene quindi utilizzato per dispositivi portatili, lavatrici o azionamenti su rotaia.

Motori a combustione interna

Negli opuscoli automobilistici, è normale che i motori a combustione interna specifichino solo il loro valore massimo insieme alla velocità corrispondente invece della caratteristica coppia/velocità registrata nel funzionamento a pieno carico (vedi figura "Curve caratteristiche di due motori a combustione interna").

Poiché la velocità è nuovamente inclusa come fattore lineare nell'equazione per la potenza , la potenza massima è a una velocità superiore alla coppia massima (vedi figura).

La seguente formula si applica alla coppia dei motori a due tempi: ${\ stile di visualizzazione M}$

${\ displaystyle M = {\ frac {V_ {h} p_ {e}} {2 \ pi}}}$

Ecco la cilindrata e la pressione media del combustibile bruciato, ovvero il lavoro svolto nel ciclo come “forza per distanza”. ${\ displaystyle V_ {h}}$${\ displaystyle p_ {e}}$${\ displaystyle V_ {h} p_ {e}}$

Quanto segue si applica alla coppia dei motori a quattro tempi:

${\ displaystyle M = {\ frac {V_ {h} p_ {e}} {4 \ pi}}}$

Perché con due giri per ciclo di lavoro il lavoro per giro si dimezza rispetto al motore a due tempi.

Esempio numerico

Coppia e potenza di un motore a quattro tempi

Un veicolo di serie con una cilindrata di 2000 cm³ (= 0,002 m³), ​​il cui motore a quattro tempi raggiunge una pressione media di 9 bar (= 900.000 Pa ; 1 Pa = 1 N/m²) ad una velocità di 2000/min,  calcolato in unità SI:

${\ displaystyle M = {\ frac {0 {,} 002 \, \ mathrm {m} ^ {3} \ cdot 900.000 \, {\ frac {\ mathrm {N}} {\ mathrm {m} ^ {2} }}} {4 \ pi}} = 143 \, \ mathrm {Nm}}$

L'equazione per la potenza durante un movimento rotatorio è (vedi sopra ; ... velocità, numero di giri per periodo di tempo) ${\ stile di visualizzazione n}$

${\ displaystyle P = 2 \ pi \ n \ M \}$

e in funzione della velocità

${\ stile di visualizzazione P (n) = 2 \ pi \ n \ M (n)}$.

${\ stile di visualizzazione M (n)}$è la caratteristica di coppia dipendente dalla velocità per un motore specifico. Si ottiene mediante misurazione.

Un motore a combustione interna che eroga una coppia di 143 Nm ad una velocità di 2000 giri al minuto ha la  seguente potenza in questo stato di funzionamento:

${\ displaystyle P = 2 \ pi \ cdot {\ frac {2000} {60 \ \ mathrm {s}}} \ cdot 143 \ \ mathrm {Nm} \ \ circa 30 \ \ mathrm {kW}}$ .

Motori idraulici

La potenza idraulica di un motore idraulico è calcolata dalle pressioni e all'ingresso o all'uscita del motore e il volume di olio ingerito ( è il volume per giro): ${\ stile di visualizzazione P}$${\ stile di visualizzazione p_ {1}}$${\ displaystyle p_ {2}}$${\ displaystyle Q = q \ cdot n}$${\ stile di visualizzazione q}$

${\ displaystyle P = (p_ {1} -p_ {2}) \, qn}$

Dall'equazione della potenza durante un movimento rotatorio (vedi sopra )

${\ displaystyle P = 2 \ pi Mn}$

la coppia segue:

${\ displaystyle M = {\ frac {(p_ {1} -p_ {2}) \, q} {2 \ pi}}}$

letteratura

• Wolfgang Nolting : meccanica classica. In: Corso base di fisica teorica. Vol. 1, 8a edizione. Springer, Berlino 2008, ISBN 978-3-540-34832-0 .
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• Richard P. Feynman : Feynman tiene lezioni di fisica. Oldenbourg, Monaco/Vienna 2007, ISBN 978-3-486-58444-8 .
• Paul A. Tipler : Fisica. Terza ristampa corretta della prima edizione. 1994, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg/Berlino 2000, ISBN 3-86025-122-8 .
• Ludwig Bergmann , Clemens Schaefer: Meccanica - Acustica - Calore. In: Manuale di Fisica Sperimentale. Vol. 1, 12a edizione. Walter de Gruyter, Berlino 2008, ISBN 978-3-11-019311-4 .
• Istvan Szabó : Introduzione all'ingegneria meccanica. Springer, Berlino 1999, ISBN 3-540-44248-0 .
• Peter Gummert, Karl-August Reckling: Meccanica. Vieweg, Wiesbaden 1994, ISBN 3-528-28904-X .

link internet

• Coppia sulla leva a un braccio. Mostrato usando una chiave inglese come esempio. A: zum.de.
• Wilfried Krimmel: Sviluppo e futuro della tecnologia di misurazione della coppia. A: lorenz-messtechnik.de.

Evidenze individuali

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   • Achim Feldmeier: Meccanica Teorica - Analisi del Movimento. 2013.
   • Honerkamp, ​​​​Römer: fisica teorica classica. Springer, 4a edizione, 2012.
   • Wolfgang Nolting: Corso Base Meccanica Teorica 1 - Meccanica Classica. Springer, decima edizione, 2013.
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   • Wittenburg et al.(Hrsg.): La conoscenza ingegneristica - meccanica tecnica. Springer, 2014.
   • Gross, Hauger, Schröder, Wall: Meccanica tecnica 1 - Statica. Springer, 11a edizione, 2011.
   • Sayir, Dual, Kaufmann, Mazza: Ingegneria Meccanica 1 - Fondamenti e Statica. Springer, 3a edizione, 2015.
   • Spura: Meccanica Tecnica 1 - Stereostatica. Springer, 2016.
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28. ^ Conrad Eller: Holzmann/Meyer/Schumpich. Meccanica tecnica. Cinematica e cinetica. Springer, 12a edizione, 2016, pagina 127.
29. ↑ I valori misurati sono valori medi temporali su un ciclo di lavoro completo, ovvero su un giro dell'albero motore in un motore a due tempi , su due giri in un motore a quattro tempi .